, .
当 时, ,故 ;
当 时, 。
于是,对 中的任意函数 ,有
,
显然, 是调和函数,故 是次调和函数。根据最值定理,有 。由此得到: 。
类似地,考虑函数 。
可得出
.
所以 ,证毕。
上述定理中的 称为在 处的闸函数。
一个区域称为Dirichlet区域,如果该区域的Dirichlet问题是可解的。根据定理3.1.1,如果一个区域的边界上的每一点的闸函数存在,那么这个区域就是Dirichlet区域。
比如,设 除去边界 上的点 外均在一个开的半平面内。如果 在过 的仰角为 的直线的左边,那么 处的闸函数 。
事实上,令 ,对 上除去 外的任意点 ,存在 与 ,使得 。其中 。故 。
更为一般地,若 是一条线段的一个端点,这条线段除 外都在 的外部,它的另一端点是 ,则函数 在 内可以取定它的一个单值分支,它把 变为一个区域,这个区域连同其边界就在其一条直线的一侧,于是适当选取 ,函数 就是 的闸函数。
由此,我们有
定理3.1.2 如果区域 的每一个边界点是 的外部一条线段的端点,则 是Dirichlet区域。特别地,若 的边界 是由有限多条Jordan曲线所组成,则 是Dirichlet区域。
3.2 Dirichlet问题的Green函数法
本节主要运用Green函数的方法来求解Dirichlet问题,并给出Dirichlet问题的一般解。
定义3.2.1 设 是一个区域, ,称函数 是关于奇点 的Green函数,如果它具有性质:
(1) 在 内除 点外是调和的;
(2)若 , , 在 点邻域内调和;若 , , 在的 邻域内是调和的。
(3)对于 上的任意一点 , 。
对于给定的区域 及 内一点 ,关于 点的Green函数不一定存在。但是,如果一个区域 关于 点的Green函数 存在,则它必是唯一的。事实上,若 也是 内关于 点的Green函数,那么 在 内调和,且在 上恒为0,由极值原理, ,即 。
另一方面,一个有界的Dirichlet区域 关于任意点 的Green函数 是存在的。事实上,以 为边值求解的Dirichlet问题,设它的解为 ,则函数
就是 关于 点的Green函数。因此我们有
定理3.2.2 若 是有界的Dirichlet区域,则对于 内的每一点 ,Green函数 是存在的。
另外,在文献 中提到了一些Green函数的求解方法,如镜像法。
在给出Dirichlet问题解的表达式之前,先给出要用到的Green公式。
根据散度定理
以三文为例,令 ,则
设 都是二阶连续可微函数,令 , , 。
即: , 将之代入散度定理:
故有 ,从而有 (3.2.1)
这就是格林第一公式。
在(3.2.1)中交换 和 的顺序,有 (3.2.2)
(3.2.1)减去(3.2.2)后,整理得到:
这就是格林第二公式。
下面就给出Dirichlet问题解的表达式。
定理3.2.3 设 是一个由有穷多条分段光滑Jordan曲线所围成的区域, 是 内关于 的Green函数,那么,对于 上任意给定的连续实函数 ,Dirichlet问题的解可表示为
, (3.2.3)
其中 是 作为变量 的函数在 上的外法向导数。
证 我们假定 和 在 上有连续的一阶偏导数,在此之下证明这个定理。设 是 内任意一点,在 内作小圆 。记 。在Green第二公式
调和函数的性质与应用+文献综述(5):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_2689.html