定义1.5 设 是 的正规子群,任取二陪集 与 ,则根据群中子集的乘法
即 .我们称这个为陪集的乘法.
定义1.6 群 可表示成子群 的一些互不相交的左陪集之并. 因此, 群的子群 的全体左陪集的集合组成群 的一个分类. 即
,
其中, 取遍 的不同陪集的代表元素. 特别,如果 为有限群, 则
其中, 为 的不同左陪集的个数.
定义1.7 若群 中每个元素的阶都有限,则称群 为周期群.
2. 陪集的性质
性质2.1 设 是一个群, 是 的子群, ,则
证明 因为 是 的子群, ,故
(证毕)
性质2.2 设 是一个群, 是 的子群,
.
证明 设 ,则由性质1知 ,故 .
反之,设 .因为 是子群,故 ;
又任取 .由于 ,故 ,且
.
(证毕)
性质2.3 设 是一个群, 是 的子群,
证明 设 .令 ,则由性质(2)有 .
反之,设 .则因 ,故 .
(证毕)
性质2.4 设 是一个群, 是 的子群,
,即 与 同在一个左陪集中 (或 ).
证明 由设 则
, .
于是由性质2.2知, .
反之,若 ,则依上倒推回去即得 .
(证毕)
应注意,把性质3和性质4结合起来,就得到:
,即 与 同在一个左陪集中 (或 ).
性质2.5 设 是一个群, 是 的子群,若 ,则 .
证明 设 ,则 , .于是根据性质3可知
(证毕)
这个性质表明,对于任意两个左陪集来说,两者要么是相等的,两者要么没有公共元素(即其交为空集).
性质2.6 的每一个元素只属于一个右陪集.
证明 存在 ,因为 是一个子群,单位元 ,所以 ,就是说元素 属于右陪集 .
设 ,那么
由此得, ,而 的任意元素
所以 ,同理可得, 所以 ,即 只能属于一个右陪集.
(证毕)
性质2.7 设 是一个群, , 则对于任意 , 恰由 中的每个元素的逆元组成. 即有
.
证明 设 , 任取 , 其中 , 因为
, 且 ,
所以 , 故 ,因此 .又任取 , 其中 , 则 , 所以
,
因此 , 所以
.
(证毕)
性质2.8 设 为群, .若则下列各条件等价:
(1) .
(2)任意的 ,存在 ,使得 (任意两个左(右)陪集之积还是左(右)陪集).
证明 :任意的 ,有
:因为 ,有
,
即 ,有
即 ,得 ,或 ,于是
由 的任意性,故(1)成立. 陪集的性质与应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_37255.html