1.知识预备
定义1.1 如果在区域 内,函数 是可微的,那么在区域 中,函数 称为解析函数;
定义1.2 在解析区域 内,如果存在一个 点,可以使得函数 的值为零,那么称 是解析函数 的零点;
定义1.3 若有限点 为函数 的孤立奇点,即位于点 的某去心邻域 中, 是解析的,则称积分
是函数 在点 处的留数(Residue),以 作记;
定义1.4 位于复平面 上,单值解析函数除了极点以外再无其他类型的奇点,这样的函数就称作亚纯函数;
定义1.5 假设在区域 内,函数 有定义, 和 是 内任意两个点且各异, 均满足 ,那么就称函数 在区域 内是单叶的, 的单叶区域为区域 ;
引理1.1 (辐角原理) 如果 为一条周线,函数 满足下列条件:
(1)函数 在 的内部中为亚纯函数;
(2) 在 上解析且不为零,
则有
成立.在 内部中,函数 的零点的数量是 ,极点的数量为 .
注 零点有 阶是算为零点有 个的,极点有 阶是算为极点有 个的.
当 沿 的正向绕行一周后,在周线 内部,函数 的零点个数和极点个数的差跟 的改变量 与 的商相等,即
.特殊情况:如果函数 在周线 上及 之内部均是解析的,并且 在 上不等于零,就可以使
成立.
注 “ 连续到边界 且沿 有 ”可以作为条件“ 在 上每一点解析且不为零”的适当减弱的条件.
引理1.2 (函数零点孤立性定理) 若函数 满足以下条件: Rouche定理及其应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_37258.html