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变量代换在微积分中的应用(3)

时间:2019-09-29 20:10来源:毕业论文
, 因此 , 记 ,并代入原变量,得 , . 另外,可以验证 ,即 .也即是方程 的解. 因此,原方程的通解为 .其中c为任意常数. 2.2伯努利方程 形如 的方程称为伯努利


 ,
因此 , 记  ,并代入原变量,得
 ,
 .
另外,可以验证 ,即 .也即是方程 的解. 因此,原方程的通解为 .其中c为任意常数.
2.2伯努利方程
    形如 的方程称为伯努利方程,这里 , 为x的连续函数, 是常数.
 求解伯努利方程旨在将其利用变量代换化为线性微分方程.事实上,对于 ,用 乘 两端,得
                      ,                     (3)
引入变量变换
       ,                             (4)
从而
                   .                         (5)
将(4)(5)代入(3)得到  .
    这是线性微分方程,可根据线性微分方程求解的方法求它的通解,然后代回原来的变量,便得到 的通解.此外,当 时,方程还有解 .
    例5  求方程 的通解.
    解  这是伯努利微分方程.当 时,令 ,算得 代入原方程得到 ,即是线性微分方程了,求得它的通解为 代回原来的变量 ,就可以得 即是原方程的通解.
    此外,方程还有解 .
2.3黎卡提方程
    形如 的方程称为黎卡提方程 .
 一般情况下,黎卡提方程不能用初等积分法求出.如果知道它的一个特解 ,则作变换 代入原方程化为以 为未知函数的伯努利方程
                     ,
从而可对伯努利形式的方程就可以用初等积分法来求解. 变量代换在微积分中的应用(3):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_40136.html
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