2. 积分型余项的泰勒公式

定理1[1]设函数f在x0的某邻域U(x0)内有n+1阶连续导函数，令x U(x0), 则 

 .（2-1）

其中Rn(x)为泰勒公式的n阶余项，即

                .                       （2-2）              

积分型余项的泰勒公式非常重要，因为它的形式更加一般，从它出发可以推出柯西型余项,拉格朗日型余项公式[2].教材中一般运用高阶的定积分分部积分公式来加以证明[3].而本文给出了两种新型证法：一种是利用泰勒公式余项的重积分型证明积分型余项的泰勒公式，另一种是利用函数构造法证明积分型余项的泰勒公式.

2.1利用重积分型余项证明积分型余项的泰勒公式

引理1【4】  如果函数 含有 的某个开区间 内具有直到 阶的导数,则当 在 内时， 可表示为一个n次多项式与一个余项之和

 .

其中

          .               （2-3）

上述余项 不同于泰勒公式的其他形式余项，称为重积分型余项.

2.2利用引理1和重积分换序证明积分型余项的泰勒公式

此时，我们可以猜想如果将重积分型余项的积分顺序发生变换，我们可以得到什么样的结果？那么就有，