摘要:反对称矩阵在代数学中有着相当的比重,它的很多性质都区别于其它矩阵,因此对于研究反对称变换很有价值.本文就针对反对称矩阵的性质进行了研究.内容由三部分构成,分别为:反对称矩阵的基本性质、反对称矩阵秩的性质、反对称矩阵特征值和特征向量的性质.并运用相关的专业知识,给出了各个性质相应的证明.42831

毕业论文关键词:反对称矩阵；伴随矩阵；秩；特征值；特征向量

      The Properties of The Antisymmetric Matrix

Abstract:Antisymmetric matrix occupies considerable proportion in algebra, and ma-ny of its properities are different from other matrix, so the antisymmetric transformat-ion is of great value for research. In this paper, according to the properities of the anti-symmetric matrix are studied. This content is composed of three parts, respectively is:the basic properities of the antisymmetric matrix,the nature of the rank,the nature of t-he eigenvector[3].And using the related professional knowledge, the various properties of the corresponding proofs are given. 

Keywords:Anti-symmetric; Adjoint matrix; Rank; Eigenvalue;Feature Vector

目    录

摘  要 1

引言 2

1.预备知识 3

2.反对称矩阵的基本性质 ...3

3.反对称矩阵的秩的性质 15

3.反对称矩阵的特征值、特征向量的性质 18

结束语 22

参考文献 23

致  谢 24

反对称矩阵的性质引言

矩阵在代数学的研究中有着相当大的比重,而反对称矩阵作为矩阵中的特殊的一类,在许多方向的探究中有着深远的意义.我们知道:对称矩阵对应的对称变换在代数学研究中非常重要,而反对称矩阵对应的反对称变换和对称矩阵对应的对称变换占有相当的比重,因此对这类矩阵进行相关的研究很有必要.

鉴于反对称矩阵的特殊地位,许多专家都对这个问题做了比较细致的探究.例如在文献[3]中作者就相对系统的从三个方面介绍了反对称矩阵的性质,而这三个方面的内容与本文也大体相同，同时作者也对大多数性质给出了自己的证明过程；在文献[6]中,作者从反对称矩阵的其他方面展开,分为其伴随矩阵,特征值,以及代数余子式这几个方向,从另一个角度去研究了这类矩阵,也因此得到了与对称矩阵相类似的某些性质；在文献[11]中作者专门针对这类矩阵的特征值、特征多项式的性质进行研究,同时给出了一个算法,能够迅速的计算反对称矩阵的特征值.

尽管很多专家对这方面内容的探究相对来说也比较细致,但更深入的对这个领域进行钻研,并进行系统的归类整理以及给出自己独到的见解或证明,仍然是必要的.在这篇论文中我将针对反对称矩阵的性质从三个方面依次展开说明,即:其基本的性质,秩的性质,特征值和特征向量的性质,而且各个性质相应的证明也分别给出,有些性质还给出了几种不同的证明方法,这将有助于读者更深入的学习这类矩阵,同时为探究反对称变换作了很好的铺垫.

1.预备知识

定义[1]  设 ,如果 ,那么称 .

引理1  设A为n阶矩阵 ,那么  

2.反对称矩阵的基本性质

    根据 以及前人的研究结果,接下来将先给出这类矩阵的一些基本的性质.