1.3预备知识及研究工具

1.3.1逐步逼近法 

    求初值问题(3.1)的解等价于积分方程               

的连续解。

    构造近似解函数列 

    任取一个连续函数 ，使得 ，对上述积分方程的右端替代 ，得到

    如果 ，那么 是积分方程的解，否则，又用 替代积分方程右端的 ，得到

如果 ，那么 是积分方程的解，否则，继续进行，得到

                                       (1)                       

于是得到函数序列 .

函数序列 在区间 上一致收敛于 ，即                        

存在，对(1)取极限,得到

                     即  .

4)  是积分方程 在 上的连续解.

这一步由一步一步找到方程的解的办法被称为逐步逼近法。

1.3.2存在唯一性定理

如果 在矩形域R上连续并且关于y满足Lipschitz条件，那么 

是方程 是唯一解，定义于区间 上，连续并且满足初始条件。 ，

这里 。

1.3.3单调序列原理

任何一个由上界的单调增加序列必收敛于一个极限（对于任何一个有下界的单调减少序列，类似的命题也成立）。