1.1、 中外奥赛概述

数学奥林匹克是专门解决数学难题的竞赛，它起源于16世纪意大利数学家菲奥的挑战塔塔利亚开始，举行公开竞争的三次方程的解决方案.奥林匹克数学竞赛的发展，从1894年匈牙利首开数学竞赛的先河，到1956年罗马尼亚的罗曼教授向东欧七国建议举办国际数学竞赛，并于1959年7月，在罗马尼亚的古都不拉索夫举行了第一届国际数学奥林匹克(IMO) [1]，这一数学竞赛跨国界的创举".在此之后，有不少国家纷纷加入到数学竞赛的队伍中来，从1981年的第22届开始，是IMO走向成熟的开端.

中国数学竞赛[2]始于1956年，由我国华罗庚、苏步青等数学家发起，但是由于“文化大革命”中断了13年，直到1978年恢复，慢慢走向国际.1985年，我国首次参加第26届IMO.从1990年的第31届IMO开始，我国数学竞赛迅速的成长起来，在比赛中取得优异的成绩.

数学竞赛已成为国际公认的教育活动，从小学、中学到大学，参赛人数之多、范围之广、试题难度之高等均不比奥运会逊色.单墫教授指出：“数学竞赛是才智的角逐”.试题的难度不在于解决问题所需要许多高深的知识，而在于对数学本质的洞察力，创造力和数学机智.在对IMO试题的统计表明，试题范围主要稳定在数论、组合数学、数列、不等式、函数方程和几何等.与通常题目相比，这些题更多的是在考察一个人的数学思维，以及数学技巧.

1.2、 奥数中的组合数学方法

数学竞赛题中出现组合问题往往表达形式上简单明了，然后求解这类问题却需要一定的技巧，没有固定的套路，骆祖英[3]说：“竞赛题中组合数学实乃非常规数学知识和方法之统称，变化多端，技巧性强的组合数学题的解题关键，在于精通解题策略，但策略本身就是对各种方法的熟练掌握，真所谓万变不离其宗，只要掌握好了方法，难题就迎刃而解.”无论是以退为进还是运动变换，或是模式归化，亦是涂色转换，这些野路子都是组合数学的魅力所在，所以要解决组合问题需要掌握好组合的基本方法.

在组合数学中主要由以下几个问题：存在性问题，计数问题，构造问题以及最优化问题.在这些问题中，在组合数学中，数学归纳法是一个最常用的证明方法，反证法是解决存在性问题最有力的武器.解决组合问题常常需要“对症下药”，一般考察的一些组合方法有：基本计数原理以及公式（加法原理和乘法原理，排列组合公式，二项式定理），容斥原理，递推公式法，生成函数方法，抽屉原理等其他方法.

1.3、 研究现状

2、 奥赛中的组合数学方法介绍

本文主要介绍容斥原理法，递推公式法以及生成函数方法，容斥原理有着以退为进的特点，且容斥原理方法以及其对偶形式在奥数中有着广泛的应用.递推关系方法在解决数列的问题中有着重要的作用，著名的Hanoi塔问题（梵塔之谜），Fibonacci数列都属于经典的利用生成函数解决递推关系的例子，所以生成函数和递推关系之间有着非常密切的联系，所以在例子中也将递推关系和生成函数方法合并一起介绍.

2.1、 容斥原理法

容斥原理又称包含排斥原理，逐步淘汰原理，它有着非常广泛的应用，可以解决一些十分有趣的问题.