法国数学家J•阿达玛在其所著《初等数学教程》（平面几何卷）中作了最准确、最简明扼要、最精辟的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。“素数有无穷多”这个结论欧几里得用反证法证明，欧多克斯用反证法证明了“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论， “最优化原理”的证明，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，“上帝并非全能”的证明，都用了反证法。在我们自身学习的各个阶段，反证法一直伴随着我们。

反证法是数学证明方法中很重要的一部分，我们首先需阐述反证法的概念、逻辑根据和一般步骤，然后讨论了反正法的适用范围，任何一种方法都要以应用为首要任务，我们学习它、了解它、掌握它，学会用反证法解决更多的实际问题才是我们的目的。其次研究了反证法的教学，反证法的这种数学思想在课堂教学中的渗透是很有必要的，讨论应用反证法应注意的问题，真正用好反证法并非一件易事，所以我们的研究学习是很有必要的，在初中数学教学中也应注重。

在历史上还有许多情系反证法的俄国科学家和数学家，这里简单罗列一下数学家利用反证法发现非欧几何的故事：  

1815年 俄国 罗巴切夫斯基础过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 

1826年 非欧几何遭到讥讽和打击 高斯 欧洲数学之王。

   1868年 几何学中的哥白尼。 

1893年 喀山大学世界史上第一个为数学家立的雕塑。

（二）反证法的应用

    反证法的推理过程，必须保证是合乎逻辑的，并且要用否定的结论q作为推理的前提依据，否则便不会倒出矛盾。另外，还必须要求题设p作为真命题，在推理过程中作为前提使用，或者与推理结果相矛盾而发生作用。 

反证法的学习非常重要。在数学学习中，我们着重要培养的是学生的创造性思维，而反证法的应用更需要这种能力，它对培养学生得逆向思维和发散性思维能力都有重大的意义。反证的批判思想有助于学生正确的认识客观世界。中学阶段，是一个人形成价值观的重要阶段。这些信息在学生头脑中留下各种是或非的印象，如何取其精华，去其糟粕？学生可以利用反证法。