1.建立数学模型来分析太阳照射下影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型， 以天安门广场（39°54′26″N,116°23′29 ″E）2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间的影长变化为例，绘制出位于该地3 米高的直杆的太阳影子长度与时间的变化关系曲线;

2.在已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据与观测日期的情况下，建立数学模型并根据所给数据确定直杆所处的地点;

3. 在已知某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据但观测日期未知的情况下，建立数学模型并根据所给数据确定直杆所处的地点;

4．已有一根直杆在太阳下的影子变化的视频资料，且已知直杆的高度为2米.建立数学模型，并来确定视频的拍摄地点.

下文就将以上述题目中提供的数据为基础对问题展开讨论.

2 模型假设

(1)假设地球大气层为均匀介质，折射率恒定，等于1；

(2)测量是在无风的情况下进行的，影子的变化只受太阳光线以及时间的影响；

(3)将太阳的自转以及地球绕太阳的公转简化为地球不动，太阳绕地球转动.

3 问题分析与求解

3.1 已知地点一天内影长与北京时间的关系

3.1.1 问题分析

为分析太阳影子长度的变化情况，首先需要确定太阳在任意时刻的太阳高度角.然后根据三角形的余切公式得出某一时刻太阳影子的长度，建立太阳影子的数学模型.最后通过MATLAB软件计算出某一时段的影子变化规律，并绘出影子顶端的变化曲线图.其中，太阳的高度角是由太阳的赤纬角、观测地纬度以及太阳时角共同来确定.

3.1.2 建立数学模型

定义1[4] 对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角.

同一地点一天内太阳高度角是不断变化的，是由太阳的赤纬角、直杆位置的纬度以及太阳时角共同来确定的.相关计算公式如下：

(1)时角的计算

定义2[4] 单位时间地球自转的角度定义为时角,源!自%优尔>文)论(文]网[www.youerw.com，规定正午时角为0°，上午时角为负值，下午时角为正值.地球自转一周360°，对应的时间为24小时，即每小时相应的时角为15°.

由定义2推算出时角的计算公式为

                                                       （1）

其中ST为真太阳时，即当地时间，以24小时计，真太阳时的换算公式为：

                  ，               （2）

                    时差=（ 当地经度）/                    （3）

由（1）－（3）式联立得出，太阳时角的计算公式为

                                            （4）

其中， 表示太阳时角； 表示直杆位置的经度； 表示北京时间.

(2)太阳赤纬角的计算

定义3[4] 太阳赤纬角表示太阳光线与地球赤道面的夹角，一年四季每天都在变动着，太阳赤纬角的计算公式（附录1）是