本文对于Gamma函数和Beta函数性质和其联系分别进行了说明, 讲述了欧拉积分在定积分、级数计算、概率和数理统计中的分别应用, 并举例说明, 同时对概率积分进行证明. 通过运用这种方法使得难题不再难懂, 变得简单易算, 而且在进行解题的过程中, 我们的思维也得到锻炼, 在求解欧拉积分题目时, 我们通常在题中给定的区间上把被积函数展开成幂级数,  求收敛值时利用幂函数的一致收敛性定理, 求出收敛值, 从而计算出欧拉积分值[5]. 我们要学会利用简单的方法求解定积分, 因为它是大学数学学习当中一个很重要的技能,,源Z自+优尔=文@论(文]网[www.youerw.com 有着很高的地位, 同时也是我们需要掌握的一个主要的方法[6]. 定积分求解一般方法：先求出原函数, 再运用牛顿--莱布尼茨公式将其带入上下限进行运算[7]. 普通的定积分求解问题都可以运用这种方法来进行计算. 探讨欧拉公式和欧拉常数对于数学分析、初等数论等发展均具有重要意义. 

1  欧拉积分预备知识

1.1  欧拉积分的定义

欧拉积分主要含有格马（Gamma）函数, （或写作 函数）和贝塔（Beta）函数, （或写作 函数）[8]. 

     函数公式:

贝塔（Beta）函数：

 .

     函数公式

    格马（Gamma）函数：

 .

1.2  函数及其相关性质

(a)  函数的定义域及其连续性

 =  .

因此

    (1)若 时, ,此时式子分母为 ，所以原函数是以 为瑕点的无界函数反常积分; 

    (2)若 时, ,此时式子分母为 ,所以原函数是以 为瑕点的无界函数反常积分. 

由柯西判别法能证得:当此二个无界函数反常积分都收敛, 因此 函数定义域为 

对于任何 , 成立不等式在 内有 ,  这个时候是一致收敛的, 有 函数在定义域 上是连续的.