保单分配中的随机比较

摘要在本文中，我们在保单限制和保单豁免两种政策下，对投保人的总损失进行了随机比较.在保单限制政策下，假设保单持有人面临n个风险1,,n XX，如果  1,,n l l l 和 * * *1 ,,n l l l 是分配给这n个风险的两组限额，当l和*l满足一个弱超优序的关系时，保单持有人残留的总损失1()nii iXl  和*1()nii iXl  有一个通常随机序的关系.类似的，在保单豁免政策下，我们可以得到与上面相似的结果. 51391
毕业论文关键词：通常随机序似然比序保单限制保单豁免最优分配
Policy distribution of random comparison
Abstract In this paper，we study the problem of comparing losses of a policyholder who has an increasing utility function when the form of coverage is policy limit and deductible. The total retained losses of a policyholder1()nii iXl   are ordered in the usual stochastic order sense when  1, ,iX in are ordered with respect to the likelihood ratio order. The parallel results for the case of deductibles are obtained in the same way. It is shown that the ordering of the losses are related to the characteristics (log-concavity or log-convexity) of distributions of the risks. As an application of the comparison results， the optimal problems of allocations of policy limits and deductibles are studied in usual stochastic order sense and the closed-form optimal solutions are obtained in some special cases.
Key Words: Usual stochastic order Likelihood ratio order Majorization order Policy limit Optimal allocation

摘要Ⅰ

Abstract-Ⅱ

目录Ⅲ

变量注释表-Ⅳ

1绪论1

2预备知识2

2.1随机序-2

2.2超优序及相关序-3

3保单限制中总损失的随机比较4

4保单豁免中总损失的随机比较6

5结论7

参考文献-8

致谢10
1 绪论风险比较的问题是保险业务的核心问题，最近几年，许多研究者运用随机序对保单限制和保单豁免进行了研究. Cheung (2007)[1] 从投保人的角度在独立风险情形下研究了这两种保单的最优分配问题.Lu & Meng (2011)[2] 在优化序的角度下给出了保单限制和保单豁免最优分配的显示解.此外，卷积（或独立随机变量的线性组合）的随机性质的研究也是保险问题中的研究热点.此类问题的研究已呈现出了诸多好的结果，如 Marshall & Proschan (1965)[3]， Mi et al. (2008)[4]， Zhao & Balakrishnan (2009)[5] 和Mao et al.(2010)[6] 等等. 考虑保险中的这样一个问题，假设保单持有人面临有n个风险，分别记为1,,n XX，按照保险协议，通过支付保险费，他可以从保险人那儿获得部分承保.常见的两种承保形式是保单豁免和保单限制. 第一种情形，通过保险公司的承保，保单持有人现在可以享有总数$0 l 的权限作为保单限额任意的分配给这n个保险.如果假设  1,,n l l l 是分配给这n个保险的限额，源`自,优尔.文;论"文'网[www.youerw.com也就是说  0 iill 表示第i个风险iX的保单限额，我们把满足12 n l l l l    条件的n元数组称为一个可行的保单限额分配政策，用  l 表示所有这种n元数组组成的集合.如果选定了某组    1,,n l l l l  ，那么保险公司承担的风险就是 1()niiiXl  则保单持有人残留的总损失就是 1 1 1( ) ( )n n ni i i i ii i iX X l X l          第二种情形，通过保险公司的承保，保单持有人现在可以享有总数$0 d  的豁免额分配到这些风险中.如果（1,,n dd ）是分配给每个风险的豁免额，同样的，对所有的i，0 id 且满足12 n d d d d    条件的n元数组我们称为是可允许的保单豁免额分配策略，我们用  d 表示所有这种n元数组组成的集合.如果选定某组    1,,n d d d A d ，那么保险公司承保的风险就是 1()niiiXd   则保单持有人残留的总损失为 1 1 1( ) ( )n n ni i i i ii i iX X d X d          我们的问题是从保单持有人的角度和从保险人的角度基于一定的效用函数下，如何分配保单限额和保单豁免额，使得其期望效用最优. 2 预备知识 2.1随机序在这节，我们给出一些常用随机序的定义.为了方便表示，本文中“递增和“递减”分别表示单调非减和单调非增.定义记号( , )    ，[0, )    ，且n 表示n维欧氏空间. 定义2.1.1. 设两个非负随机变量X和Y的密度函数分别为 X f和Y f ，其分布函数分别为X F和Y F.令1 XX FF ，1 YY FF 分别为它们的生存函数，并且记为 ( ) ( ) / ( ) XX r x f x F x ，( ) ( ) / ( ) YY q x f x F x 分别表示X和 Y的失效率函数，另用( ) ( ) / ( ) XX r x f x F x ，( ) ( ) / ( ) YY q x f x F x 分别表示X和 Y的反失效率函数，则（1）若对x   ，( ) ( ) XY F x F x ，则称X依通常随机序小于Y，记作stXY ；（2）若对x   ，( ) ( ) r x q x ，则称X依失效率序小于Y，记作hrXY ；（3）若对x   ，( ) ( ) r x q x ，则称X依反失效率序小于Y，记作rh XY ；（4）若对x   ，( ) / ( ) YX f x f x关于x 单调递增，则称X依似然比序小于Y ，记作lrXY ；（5）若果对所有增凸(增凹)函数，有    E X E Y           ，则称X在增凸（增凹）序意义下小于Y，记作  icx icvXY . 保单分配中的随机比较:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_55018.html