摘要：矩阵的最小多项式在矩阵相似、矩阵函数、若尔当标准型和矩阵方阵中都有重要的应用，研究最小多项式的性质和应用就现在尤为重要了。在《高等代数》教材中，对矩阵最小多项式的性质讨论较少，更不涉及它的应用，本文归纳了最小多项式的若干结论，主要包括最小多项式的性质以及最小多项式的一些应用。52100

毕业论文关键词：最小多项式，矩阵，最小多项式的应用，

Abstract：The minimal polynomial of matrix in the similarity matrix, matrix function, Jordan Standard form and a square matrix has important applications, properties and application of minimal polynomial is now particularly important. In the "Higher Algebra" teaching materials, properties of the minimal polynomial of a matrix is little discussed, nor to its application, this paper summarizes some conclusions minimal polynomials, including the properties of minimal polynomial and some applications of the minimal polynomial.

Keywords：Minimal polynomial,Matrix ,The application of minimal polynomial

目   录

1   最小多项式的性质4

2   最小多项式的应用5

  2.1 已知方阵 和多项式 ，求 6

  2.2 对于方阵 如何确定 可逆以及求 的逆7

  2.3 判断方阵能否与对角阵相似9

  2.4 求方阵 的全体多项式所生成的线性空间 的维数和一组基10

2.5最小多项式与特征多项式10

结论 11

参考文献12

1  最小多项式的性质

    我们知道，矩阵的最小多项式在高等代数课本中讲解较少，但此内容是重要的.本文就此对矩阵的最小多项式的性质及其应用最进一步的谈论，仅供参考.

下面简述一下最小多项式的一些性质.

    性质1  复数域 中任何矩阵 的最小多项式是唯一的.

    证明 设 和 都是 的最小多项式，很据带余除法， 可表

其中 或 ，于是因此      源^自·优尔·文.论,文'网]www.youerw.com                 .

    由最小多项式的定义， ，即 .同样可证 .因此 与 只能相差一个非零常数因子.又因 与 的首项系数都为 ，所以 .

性质2  复数域 中的任何 阶矩阵都有最小多项式.

性质3   级若尔当块 的最小多项式 .

证明   的特征多项式为 ，而 ，并且我们知道 ，所以 的最小多项式为 .

性质4  相似矩阵有相同的最小多项式；矩阵与其转置有相同的最小多项式.

证明  设方阵 的最小多项式是 ，方阵 的最小多项式是 ，由 和 相似知，有

其中 为可逆矩阵.则 由性质7知 整除 ，同理可证 整除 ，所以 .得证.

    性质5 任取复数域 中的 阶可逆矩阵 ，设其最小多项式为 ，则 的最小多项式是 .

    性质6  设 是一个准对角阵，                     ,

 的最小多项式等于 的最小多项式的最小公倍式， .

证明  设 的最小多项式为 ， 的最小多项式为 ， 的最小公倍式是 ，由 整除 知 ， .故 ,因此 整除 .