存在，则称函数 在 可导，并称该极限为函数 在点 处的导数，记作 ．

利用导数定义证明不等式的步骤：

(1) 找出 ，使得 恰为结论中不等式的一边；

(2) 联系已知条件并运用导数定义进行解答．

例1  设函数 ，其中 都为实数， 为正整数，已知对于一切实数 ，有 ，试证： ．

证  因 ,则 ．

得由于 ，所以 即 

适用范围：因为是利用定义，所以要仔细观察问题中条件与结论间的关系．当不等式符合导数定义，或可转化为导数定义的形式时，才能将导数定义法的优势发挥出来.

3.2  函数的单调性证明法

单调性是函数的重要特性，经常被应用到不等式证明当中，不同于导数定义法对定义的直接运用，单调性则是间接的运用导数证明不等式的.

定理1  设函数 在 上连续，在 内可导.

(1) 如果在 内 ，那么函数 在 上单调递增；

(2) 如果在 内 ，那么函数 在 上单调递减.

利用函数的单调性证明不等式的步骤：

(1)构造适当的辅助函数 .构造辅助函数方法一般是通过移项的方法，即把不等式的右端项移到另一边，使右边为零，则左边就是我们要求的函数；

(2)求在所给区间上 的一阶导数，判别一阶导数在此区间上的符号，或求出 在所给区间端点的值或极限，得出结论．