定义1.3  设 是一个有单位元的整环，如果
(1)  有一个从 的非零元集 到非负整数集的映射 存在；
(2)  这个 对 中任意元素 及   ,在 中有元素 使
 或 ( )<  ( ),
则称 关于 作成一个欧氏环.
定义1.4   设 是一个整环，若 多项式为欧氏环，则 称为一个强欧式环.
定义 1.5  设 是一个有单位元的整环， ,元 称为 和 的最大公约元，假如
(1)  
(2)对于任何 若 则  的最大公约元记为 .
定义 1.6  设 是整环，如果 中每个既不是零又不是单位元的元素都能唯一分解，则称 为唯一分解整环.
定义1.7   如果整环 的每个理想都是主理想，则称 是一个主理想整环.
定义1.8   若多项式环 多项式为主理想环，则称 是强理想环.
引理   整环 有单位元 存在  ,   
使 ={ | }.
证明  必要性显然，下证充分性
因为 ，因此 使 ，使 ，则 ，
因此 是 的单位元。
 因为 是 的单位元，所以 ，因此 .由于为无零因子环，因此消去律成立，从而 ，即 是 的单位元.
引理1.2  若整环 可以写成如下形式： ，则 有单位元.
证明  由引理1.1可知充分性成立，即 有单位元.
事实上，设 是 中所有元素在之下的象中最小的,
其中 ，由定义1 ，使  
因为 是最小的，因此 ,即 ，从而 .
欧氏环 可以写成的 形式.由引理1.1,  有单位元，故命题为真.
引理  设 是一个主理想整环，若存在序列里 ，每
证明  由于 是 的真因子，对这些元素中的每一个作主理想，必得令
个元素都是前一个元素的真因子，则该序列一定是一个有限序列.              
则易知 是 的主理想，但由于 是主理想整环，故可设
由于 ，故 属于某个 ，下证是序列 中最后一个元素.
若不然，设在(1)中还有 ，则由于 ，
因此 ，从而 ，这与 是 的真因子矛盾.
引理1.4   主理想整环中不可约元生成的理想是极大理想.
证明  设 是主理想整环中的一个不可约元，而 是 的一个理想，且 欧氏环的应用探讨+文献综述(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_5658.html