（2） 在开区间 内可导;

则在 内至少存在一点 ,使得

   拉格朗日定理的几何意义:满足定理条件的函数 在开区间 内的曲线上至少存在一点 ,曲线在该点的切线平行于曲线的两个端点的连线.

定理3 （柯西中值定理） 设函数 和 满足

    （1）在闭区间 上都连续;

    （2）在开区间 内都可导;

    （3） 和 不同时为零;

    （4）源'自:优尔]'论-文'网"]www.youerw.com

则存在一点 ,使得 

                          .    柯西定理的几何意义:满足定理条件的函数 和 所确定的参数曲线上至少存在一点,且该点的切线平行于参数曲线的两个端点的连线.

3  微分中值定理之间的关系

3.1  微分中值定理在结构上的相互关系

    （1）当函数 时, , , ,

由柯西中值定理我们可以得到拉格朗日中值定理:

 .    （2）当函数 时,且 , , , ,

由柯西中值定理我们可以得到罗尔中值定理:                               .

    从而我们可知,罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理之间的关系是后者包含前者,即柯西中值定理的特殊情况（ ）就可得到拉格朗日中值定理,而拉格朗日中值定理的特殊情况（ ）就可得到罗尔中值定理.即柯西中值定理是拉格朗日中值定理和罗尔中值定理的统一形式.