设 是柱体， ，在 上考虑混合问题
其中 是柱面体的侧表面， 表示 的边界， 为 的外法向量， 代表薄膜所在的曲面.
在研究上述混合问题之前先考察下面偏微分方程的定解问题   其中          (6)
    引理1  定解问题(5)的解唯一的充分必要条件是下列问题只有零解.                           
                          (7)
    证明  必要性，若定解问题(7)有非零解 ，令 ，其中 是任何常数，则将代入定解问题(5)，我们有
于是对任何 均是定解问题(5)的解，这与唯一性矛盾.
    充分性，设定解问题(7)只有零解，如果定解问题(5)的解不唯一，则至少存在两个解 ，且 ，令 ，则有   
于是 满足定解问题(7).但 ，这与定解问题(7)只有零解矛盾.引理证毕.
    从证明过程可以看出对线性偏微分方程的柯西问题或线性边值问题.引理结论都成立.
引理2 （Gronwall 不等式）若非负函数 在 上连续可微， 且对 ，有 弦振动方程解的唯一性与稳定性(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_5802.html