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函数行列式的极值问题的探讨

时间:2020-08-17 21:29来源:毕业论文
研究了行列式函数取极值的条件,给出了相关的判定方法,并通过实例说明了它们的应用

摘 要:本文研究了行列式函数取极值的条件,给出了相关的判定方法,并通过实例说明了它们的应用.

毕业论文关键词:函数,极值,行列式,导数54326

Abstract:In this paper we studied the extreme values of conditions about the determinant. prive the related of the method to determine,and illustrates their application by examples.

Keywords:function extreme value,determinant,derivative

 目  录

1 引言 4

2 用行列式判断多元函数极值 4

2.1定理1 4

2.2定理2 6

3 用导数求行列式的极值 8

3.1 行列式的求导法则 8

3.2 导数在解行列式问题上的应用举例. 8

结  论 10

参考文献 11

致  谢 12

1 引言

函数的极值不仅是函数的重要特征,而且在实际中也有重要的应用.函数极值一直是数学研究的重要内容之一,在现实生活中存在着许多和极值有关的问题,由于函数极值的广泛,加之函数本身变化纷繁,所以人们对求函数极值的方法研究的较多.

多元函数极值的概念:设函数 在点 的某邻域 内有定义,若对于任何点 ,成立不等式

   (或 ),

则称函数 在点 取得极大(或极小)值,点 称为 的极大(或极小)值点.函数的极大值、极小值统称为函数的极值.极大值点,极小值点统称为极值点.

本文将重点介绍用行列式解决函数极值的方法.

2 用行列式判断多元函数极值

2.1 定理1

若函数 在点 的邻域内有定义,且有一阶及二阶连续偏导数,则当      ,且

 ,        .时,函数 取得极小值.当

,         .时,函数 取得极大值.

证明 由泰勒公式,并且注意到在 ,有  

由于 的一切二阶偏导数在 连续,记

于是当二次型

 = .不为 时,注意到 时, 都是无穷小量,所以存在点 的一个邻域,使得在这个邻域内, 的符号与 的符号相同,而当 时, 的符号便取决于

 .的符号了.对于二次型:  = . 

它的判别式:  = ,当 >0时 >0, >0,也就是说当 为正定二次型时,引入点 与 之间的距离 .从(1)式的括号内提出 ,并令 , ,  .改写 的表达式为:

易见 的数值并不同时等于0,若  为正定的则在(2)式的前一括号和式恒为正号,进一步说,因为 ,所以必能找到这样的常数 ,使对有的一切 可能的一切数值,总有

   .          (3)

实际上这一和式是变元 在全空间的连续函数,特别在满足关系(3)式的点 的集合 中的也是连续函数,所以这一和式在上述集合 中有最小值它必然是正的,因为这一和式在 中的一切数值都是正的,另一方面,(2)式中的后一括号内的和式当 充分小时,显然在绝对值上可小于 ,于是全括号内的值是正的.因此,在点 充分小的领域内 必取正值,由此可见,在所说的 处函数 有极小值.同理当 为负定时,函数有最大值.

2. 2  定理2源'自:优尔`!论~文'网www.youerw.com

若函数 在点 的邻域内有定义,且有一阶及二阶连续导数,则当二次形式 函数行列式的极值问题的探讨:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_58529.html

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