经过一个仿射变换就能把一个 坐标系(如图1.1)变成仿射坐标系，两条数轴不垂直而且两条数轴上的单位长度可以不相等. 

那么我们可以从直角坐标系的坐标表示方法来得到仿射坐标系(如图1.2)中 的坐标表示方法： . 

1.2仿射变换的基本性质

1.2.1仿射不变量

图形在经过任何仿射变换后都不变的量叫做图形的仿射不变量. 

同素性：仿射变换使点对应点，直线对应直线. 

结合性：仿射变换保持点和直线的结合关系. 

仿射变换保持共线三点的简比不变. 

对于几何图形的某种特定的变化来说，图形的有些性质会改变，有些性质不会改变. 比如对图形进行压缩变化时，距离，夹角，面积等都会发生变化，但是直线还是变成直线，两条平行的线段在压缩之后还是平行的，又如在对图形做旋转变换后距离，夹角，面积等都不会发生变化，但位置，方向要发生改变. 在经过仿射变换后具有以下的性质，方便我们来研究一些几何性质. 

仿射变换保持同素性：即仿射变换将点变成点，直线变成直线[2]；仿射变换保持结合性：即仿射变换保持点与直线的结合关系；仿射变换将向量变成向量，且保持向量的线性关系. 

定理1：两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线. 

推论1：两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线. 

推论2：共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线. 

定理2：两条平行线段之比是仿射不变量. 

推论1：一直线上两线段之比是仿射不变量. 

定理3：两封闭图形（如三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量. 

仿射变换使几何图形变得非常简洁明了，因此, 对初等几何问题应首先分析所要研究的图形性质是否具有仿射性质, 如同素性、结合性、顺序性、平行性, 简比, 面积比不变等, 然后设法利用仿射变换将图形变为与之仿射等价的简单而易于研究的图形. 例如, 将椭圆变为圆、平行四边形变为正方形，三角形变为正三角形等, 然后通过这些特殊的图形的仿射性质的研究来得出原图形的仿射性质[3]. 源`自,优尔`.论"文'网[www.youerw.com

国外的一些研究利用放射变化找到明确的PD组部分置换广义Reed-Muller码的译码，它的发表标志着信息与编码理论这一学科的创立.仿射几何的作用是很广泛的，从初等数学到跨专业都需要用到仿射性质.[4][5]

1.2.1变积系数

但是仿射变换会将图形的形状发生改变，所以只能用来解决与图形的仿射不变性和仿射不变量有关的问题, 而不能用于解决度量性质. 所以要引入变积系数的概念，在利用仿射坐标系解决问题的时候，就利用变换后的图可以求出原来图形的面积.