摘要：本文研究微分中值定理中中间值的性质。微分中值定理指明了这些中间值的存在性，如果能够确定中间值的唯一性或有界性，即可把中间值看作为特殊的函数，利用函数中求函数极限的相关知识，得到研究中间值渐近性，无穷小等性质的一些方法。56248

毕业论文关键词：微分中值定理，中间值，渐近性，无穷小

Abstract: In this thesis, we investigated the properties of the mean values in differential mean value theorems. The differential mean value theorems designated the existence of these  mean values. If we confirmed the uniqueness or the boundary of these mean values, we could regard them as special functions and use the relevant knowledge calculating the limits of the functions to obtain some methods of studying the asymptotic and infinitesimal properties of mean values. 

Key words: differential mean value theorem , mean value , asymptotic, infinitesimal

目      录

1     引言4

2     预备知识4

3     关于微分中值定理中中间值的研究5

3.1   微分中值定理中中间值的探究方法5

3.2   微分中值定理中间值的渐近性6

3.3   微分中值定理中间值的无穷小性质10

结论12

参考文献13

致谢14

1 引言

  微分中值定理建立了函数值和导数值之间的定性、定量关系，成为我们研究函数形态的有力工具。因此和微分中值定理有关的问题是数学分析课程学习的重点，也频繁出现在各个学校的历年数学分析考研试题中。但大部分题都只要求利用中间值的存在性，对中间值性质的讨论由于难度较大、较为深刻，出现的相对较少。

    为了更好的研究微分中值定理中中间值的性质，可以通过把中间值看做未知量的特殊函数的方法进行研究，利用探索函数的性质来解决中间值的渐近性，高阶无穷小性质等一系列相关问题。

存在性和唯一性是证明中间值是函数的关键。微分中值定理说明了中间值的存在性，因此证明中间值的唯一性即可将中间值看成特殊函数。证明单调性是说明唯一性的较好方法。除此以外，中间值的有界性有时也可以帮助我们解决一些问题。源'自:优尔-'论/文'网"www.youerw.com

在本文的第2节中，我们介绍微分中值定理的一些基础知识，在第3节中，将分别讨论和中间值的唯一性、渐近性、无穷小性质等有关的一些问题。

2 预备知识

2.1 三大微分中值定理及其几何意义

2.1.1 罗尔中值定理及其几何意义

  若函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导， 则在 内至少存在一点 ，使得 。

  几何意义：在每一点都可导的一段连续线段上，如果曲线的两端高度相等，则至少存在一条水平切线。

2.1.2 拉格朗日中值定理及其几何意义

  若函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则在 内至少存在一点 ，使得 。

  几何意义：在满足定理条件的曲线 上至少存在一点 ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线。

2.1.3 柯西中值定理及其几何意义

  若 与 在 上连续，在 内可导，且 和 不同时为零， ，则存在   ，使得 。

  几何意义：由 ， 所确定的参数曲线上至少有一点，该点的切线平行参数曲线两端点的连线。