证明  由于 在 上连续，因此存在最大值 和最小值 .由

 ，使用积分不等式性质得到

或者再由连续函数的介值性，至少存在一点 使得

 ，

证毕.定理2.2[1]（积分第一中值定理的推广）若 与 都在 上连续，且 则至少存在一点 ，使得

 .证明  不妨设  ， 这时有

                  （1）

其中 在 上的最大、最小值.有定积分的不等式性质，得到

    若 ，则由上式知 ，从而对任何的 ， 式

都成立.     ，则得

由连续函数的介值性，必至少有一点 ，使得证毕.

定理2.3[13]（第一积分中值定理的改进）若 在 上连续，则至少存在一点 ，使得    

证法一  因为在 上 连续，所以存在 ，有 为最小值， 为最大值.

如果 ，则 是常值函数，任取 即可.

如果 ，考察函数 ，显然 连续且 ，

则有 ，即

同理可得 故有 .

由连续函数介值性，至少存在一点 ，使得即     .

证法二（利用拉格朗日中值定理证明） 已知函数 在 上连续, 假设 是 的原函数， 由于 在 上存在导函数 ，所以 在 上连续, 在 上可导，所以由拉格朗日中值定理可知：在  上至少存在一点