摘  要:设 >3为奇素数，本文主要解决了孙智宏的五个包含组合数的超同余式的猜想在模 时成立。

毕业论文关键词：同余式，勒让德多项式，二项式系数58314

Abstract:  Let   be a prime. In this paper we partially solve five conjectures of Zhi-Hong Sun on congruences modulo p involving binomial coefficients.

Keywords：congruence, binomial coefficients, Legendre polynomial

目   录

1  引言 4

2                             模 的同余式5

3                             模 的同余式6

4                             模 的同余式8

5                             模 的同余式9

6                             模 的同余式11

结论13

参考文献14

致谢15

1． 引言                                                                                               

设 为奇素数，在文[1-6]中孙智宏与孙智伟研究了包含组合数的模 的同余式，特别在[5,6]中，孙智宏研究了如下类型的同余式：

           ，   和  .

在文[7]中，孙智宏提出了如下的一些包含组合数的同余式猜想：

      猜想1（[7,Conjecture 5.28]）   设 为一素数，有

猜想2([7,Conjecture 5.30])    设 为一素数，有

     猜想3([7,Conjecture5.33])    设 为一素数，有

猜想4([7,Conjecture 5.36])     设 为一素数，有  

     猜想5([7,Conjecture 5.40])     设 为一素数，有

本文利用同余技巧证明了孙智宏的这些猜想在模 时成立。

本文中 是如下定义的Legendre 多项式：

其中表示不超过 的最大整数，对奇素数 及整数 ，本文中 为Legendre符号。

2．                             模 的同余式   

引理2.1（[5，Theorem 4.3 ]） 设 为一素数,有