摘 要：本文给出了三阶线性递归序列的定义，利用三阶线性递序列的递归矩阵，总结了三阶线性递归序列的通项公式和性质，归纳了三阶线性递归序列的部分和序列的通项公式.

毕业论文关键词：三阶线性递归序列，递归矩阵，通项公式，部分和59036

Abstract：In this paper ,the definition of three-order linear recursion sequence were given , the recursive matrix of three-order linear recursion sequence were used. The properties and the general formulas of three-order linear recursion sequence were concluded .The partial sum sequence of three-order linear recursion sequence were concluded . 

Keywords：three-order linear recursion sequence ,recursive matrix, the formula of general term,  partial sum sequence 

1  引言 4

2   的基本性质  4

3   的通项公式6

4   的部分和性质 12

结论  16

参考文献17

致谢  18

1 引言

    13世纪文艺复兴时期，意大利著名数学家斐波拉契在《算盘之书》中提出了兔子繁殖问题，并且得到 这样一组序列，总结出自然界中最迷人的一个递归关系 让递归序列成为数学研究中有趣的课题之一。类似地，我们给定实常数 ， ， （ 其中 不等于0），把全体满足递归关系 （ ）的三阶线性递归序列，记为   .令矩阵

 为 的递归矩阵，解得矩阵 的行列式 ，设 ， ， 为 递归矩阵 的特征值.设 ，记 为 的部分和序列.

2  的基本性质源[自*优尔^`论/文'网·www.youerw.com/

    性质1  设向量

，故性质 得证.

    性质2  当 为大于 的正整数时，三阶线性递归序列 的递归矩阵 满足特征方程           

    证明 因为矩阵 的特征多项式为 ，所以由哈密顿---凯莱定理得 ，（其中 为单位矩阵）.

两边同时乘以 ，得

展开括号得移项得故性质 得证.

    性质3  设 ，那么 .

    证明 由性质1， ，

可知存在可逆矩阵 ，使得

其中， 为 的若尔当标准型.则由 的特征方程得

 ，故性质 成立.

3  的通项公式

    引理1  设 的递归矩阵为 ，且 的特征值 ， ， 两两不同，则存在可逆矩阵

 ，使得 ，其中    证明 因为矩阵 的特征多项式为

 不妨设其中故矩阵 的特征值为

将 代入 求得属于特征值 的特征向量分别为