2 W.H.Young不等式
2.1 W.H.Young不等式的定义及证明
文献[1]中给出了W.H.Young不等式的基本形式和证明.
引理2.1.1 设函数 在 上严格递增连续, , 为 的反函数, , 则
证明 由于 在 上严格单调增加的连续函数,得 在 上严格单调增加的连续函数,故 式中积分有意义,将区间 做 等分划,记分点为 相应的点 ,构成区间 的一个分划 ,因 在 上连续,故在 上一致连续,故 时,对于此分划来讲,有 ,
式获证.
2.1.2(W.H.Young不等式) 设函数 是严格单调增加的连续函数, ,
,又设 为 的反函数,则对任意 成立不等式,
式中等号成立当且仅当 .
证明 方法一:分析法
若 ,由 式可知,从而 中等号成立.
若 ,由 的连续性可知, ,使 ,
于是, 联系 可知 成立, 中的等号成立当且仅当 .
2.2 W.H.Young不等式的若干推广
文献[2]给出了W.H.Young不等式的如下3个引理.
引理2.2.1 设函数 在 上严格递减连续, 为 的反函数,则 .
证明 由 在 上严格递减连续,可知 在 上也严格递减连续,故积分 有意义.将 分为 个等分,记分点为 , 相应点 构成 的一个分割 :
因 在 上连续,故在 上一致连续,当 时,对分割 来说,
于是 引理2.2.2 设函数 在 上连续且单调递减, 收敛,则
著名积分不等式的证明和应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_64163.html