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著名积分不等式的证明和应用(2)

时间:2020-11-04 11:44来源:毕业论文
2 W.H.Young不等式 2.1 W.H.Young不等式的定义及证明 文献[1]中给出了W.H.Young不等式的基本形式和证明. 引理2.1.1 设函数 在 上严格递增连续, , 为 的反函数,

2  W.H.Young不等式

2.1  W.H.Young不等式的定义及证明

文献[1]中给出了W.H.Young不等式的基本形式和证明.

    引理2.1.1   设函数 在 上严格递增连续, ,  为 的反函数, , 则

   证明  由于 在 上严格单调增加的连续函数,得 在 上严格单调增加的连续函数,故 式中积分有意义,将区间 做 等分划,记分点为     相应的点 ,构成区间 的一个分划     ,因 在 上连续,故在 上一致连续,故 时,对于此分划来讲,有   ,

  式获证.

2.1.2(W.H.Young不等式)  设函数 是严格单调增加的连续函数, ,

 ,又设 为 的反函数,则对任意 成立不等式,                                                          

式中等号成立当且仅当 .

证明  方法一:分析法

  若 ,由 式可知,从而  中等号成立.

  若 ,由 的连续性可知,  ,使 ,

于是, 联系 可知 成立, 中的等号成立当且仅当 .                      

2.2  W.H.Young不等式的若干推广

    文献[2]给出了W.H.Young不等式的如下3个引理.

    引理2.2.1  设函数 在 上严格递减连续, 为 的反函数,则  .                         

    证明  由 在 上严格递减连续,可知 在 上也严格递减连续,故积分 有意义.将 分为 个等分,记分点为 , 相应点 构成 的一个分割 :

 

 因 在 上连续,故在 上一致连续,当 时,对分割 来说,  

 于是     引理2.2.2  设函数 在 上连续且单调递减, 收敛,则

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