摘 要：本文介绍了一阶常微分方程的初等解法，通过不同类型的例子，归纳总结了一阶常微分方程的常见初等解法.

毕业论文关键词：变量分离，常数变易法，积分因子法，参数法.59015

Abstract: This paper introduces the elementary solution of first-order ordinary differential equations, through presenting different kinds of examples, it reveals the common solutions for this equation.

Keywords：Separation of variables, constant variation method, the integral factor method, parameter method.

1 前言 4

2 变量分离法 4

2.1 微分变量可分离方程 4

2.2 一阶齐次微分方程 6

2.3 第二类可化为变量可分离方程 8

3 常数变易法 11

3.1 一阶线性非齐次方程 11

3.2 伯努利方程 12

4 积分因子法 14

4.1 积分因子只与 有关 14

4.2 积分因子只与 有关 15

5 参数法 16

5.1 缺 或缺  16

5.2可解出 或可解出  17

结论 20

参考文献 21

1  前言

在一个函数方程中含有对未知函数的求导运算或者微分运算的称为微分方程. 常微分方程是在微积分的概念出现后出现的，至今已有300多年的历史了.它有着深刻而生动的实际背景.从生产实际与科学技术中产生，又成为现代科学技术中分析与解决问题的一个强有力工具. 作为一门理论意义与实际应用并重的学科,现已与其他学科不断交叉融结合出现了各种新的分支，如种群分析、种群生态学、脉冲微分方程等.

在人们探索物质世界的运动规律的过程中，很难全靠实验观测来认识清楚的运动规律，因为人们不太能观察到运动的全过程.然而，用数学语言将运动物体与它的瞬时变化率之间的定律关系表达出来，其结果往往就形成了一个微分方程.求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.

总之，常微分方程是与应用密切相关的基础学科，学好常微分方程的基本理论与实际应用非常重要.因此，本文对一阶常微分方程的初等解法进行简要的分析总结，并结合例题展示了初等解法在解题中的应用.

一阶常微分方程的初等解法也称为初等积分法，这样的解法最后都把求解问题化为求积分.并把方程的解用初等函数或积分表示出来.这些方法是常微分方程的基本解法，在实际中有广泛的用处.

2  变量分离法

2.1  变量可分离方程[1]

称 =  为变量可分离方程，用分离变量法把方程写成 = 此时，两边积分，得：

为微分方程的积分.

方程是变量可分离方程的微分形式表达式. 当 时，将（2）式同除以 ，分离变量，得

  ,                        （3）

上式两端同时积分可得

                         （4）

为微方程的通积分.的满足初值条件 及 的解.