1.3 复数的不同形式

复数有很多形式。第一种，代数形式为： .

                　第二种，几何形式为：复平上的点 ,或者从原点出发的向量， .

                　第三种，三角形式为： .

                　第四种，指数形式： .

2  复数的几种几何意义

2.1  复数其原本的几何意义

复平面上的点以及从原点起始的向量 ，与复数 是一一对应的，其复数的模则表示有向线段 的长度，又或者是这个点到原点的距离.

2.2  复数的加减运算其所表示的几何意义

假设 表示向量 ， 表示向量 ，并作平行四边形 ，以 ， 作为他的邻边.则他的对角线 ， 分别对应 和 .

2.3  复数的乘除的几何意义

假设 表示复数 ， 表示的是复数 ，先把 按照逆时针的方向旋转 度，（如果 ，则按顺时针旋转 度）.再把模变成原先的 倍，最后得向量 ，那么这个 对应的是 .

同理，先把 以顺时针方向旋转，角度为 （如果 ，那么我们就把 按照逆时针的方向，进行旋转，角度为 ），最后将他的模缩小成原来的 倍，得到 ，并且与 相对应.[2]

复数的代数形式很常见，很多人仅仅停留在复数的代数形式， ，没有从代数向几何转变.很多问题用复数的几何意义来看待会更加形象直观.

  　有些人认为复数问题就是设 ，并且可以解答所有题目，将复数实数化确实是解决复数问题非常重要的一个思想.但是大多数人对复数的认知与理解，并没有跟着复数定义： 从一维向二维进行转变，通过对数轴上的点与实数一一对应这个思想，假设复数也可以通过用复平面上的点来进行表示。将复数从“数”转化到“形”.任何一个有序实数对 都可以唯一确定一个复数 ，并且，有序实数对 和平面直角坐标系上的点，都是一一对应的.同理，形如 的每一个复数，他们的实部 和虚部 构成的坐标 ，在复平面上都有唯一的一个点 与之对应,也就是说，在复平面上，每个复数有且仅有一个点坐标和其一一对应.源]自[优尔^`论\文"网·www.youerw.com/

在学生时代，很多人运用模的代数形式运算 ，一些学生可以不需要展开代数形式或者几何意义，将模看成一个整体对象 ,这是对复数模的具体概念的理解，若坚持运用运算的方法，就会变得缺乏意义.若不能深入利用模的几何意义，仅仅知道模式表示一个圆，那么就只是了解了复数符号的最浅层的意义.只有深入了解复数的几何意义，才能从浅层意义像深层意义过度. [3]

2.4  绝对值与复数模

很多人简单的认为，实数的绝对值和复数的模是一样的，这是一个误区，因为复数的模和实数的绝对值的符号都是 ，应该对复数在代数形式和几何意义上进行两者的比较，会发现，在几何意义上，绝对值是实数在数轴上的对应的点到原点的距离，模是复数在平面内对应的点到原点的距离，这是一个由绝对值到模，由一维到二维的递进.

2.5  复数的几何意义在解题中的便利

利用复数几何意义解题，可以通过理解其几何意义的本质，更加简便的运算.复数的模的意义在几何上的理解是，复平面上表示Z的点到原点的距离.例如， 表示的是复平面上， 的点到 之间的距离，又比如， 表示的是复平面上，点 到点 之间的距离为1，他的轨迹是以 圆心，半径为1的圆.

复数在1的N次方根问题上的应用有很大方便，如， ,在实数范围内，只有一个根，为 ,在复数范围内却有多个.通过将方程变形，变为 ,便可以分解得， ,再通过分别求出 和 这两个式子的复数根，综合起来，也就是 的复数根了.通过坐标原点，画出其单位圆，算出三个复数根对应的复平面的点为， ， ， ，都落在单位圆上，将三个点连接起来，形成一个等边三角形. 浅谈无理数e的奥秘(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_64729.html