这与 是 的上确界矛盾. 于是， 不合理. 

 从而， ，即 . 

 因为 ，所以存在开区间 ,有 . 

 已知 是 的上确界，则存在 ，使 . 

 已知 中有有限个开区间覆盖 ，所以再加上一个开区间 ， 中也有有限个开区间覆盖闭区间 . 

2.2有限覆盖定理证明聚点定理

补充定义（聚点）[4]：

设 是数轴上的无限点集， 是数轴上的一个定点（可以属于 ,也可以不属于 . 若 点 的 邻域 都含有 的无限多个点，则称 是 的一个聚点. 

证明 ：设 为有界无限点集，则存在 ，使得 ；

假设闭区间 中的任意一个点都不是 的聚点，则对于 ，因为 不是 的聚点，所以必存在对应的 ，使得在 中至多含有 的有限多个点. 

构造开区间集 ,则 覆盖闭区间 .