又邻域 内有无限多个有理点，所以在区间 内有无限多个有理点使 .因为有理数是可数的，把在 内使 的有理点排成数列

这样便得到一个单调递减数列 且 ，则由单调有界定理知数列 必有极限。

   设 ，且有 ，由 在 点连续可知 .若 ，就与 矛盾，因此 .

     假设 ，不妨设 ，则由连续函数的局部保号性可知存在 ，使 有 ，当然在 与 之间有一个有理数 ，使 ，这与 矛盾，所以 .又 ，所以 ，因此 使 .

3.3 区间套定理证明零点定理[3]

证明  假设 .将 等分为两个子区间 和 ，若 ，则 即为所求；若 ，则当 时，记 ，当 时，记 ，于是 ，且

    将 等分为两个子区间 和 ，若 ，则 即为所求；若 ，则当 时，记 ，当 时，记 ，于是 ，且