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浅析常微分方程的一些求解技巧

时间:2020-12-25 17:03来源:毕业论文
总结了常微分方程的几类常用求解技巧,并且举例说明其求解技巧的适用范围

摘 要:本文总结了常微分方程的几类常用求解技巧,并且举例说明其求解技巧的适用范围.

毕业论文关键词:常微分方程,参数,分离变量,积分因子61350

Abstract: In this paper, we summarize several common solving skills of ordinary differential equations, and give the examples to illustrate their scopes of applications.

Keywords: Ordinary differential equations ,parameters , separation of variables, integrating factor 

1 引言 4

2 变量分离法 4

2.1 变量可分离方程 4

2.2 齐次方程 5

3 常数变易法 6

3.1 一阶线性方程 6

3.2 伯努利方程 7

4 积分因子法 7

4.1 全微分方程 8

4.2 积分因子的选取 8

5 参数法 10

5.1 一阶隐式微分方程 10

6 降阶法 11

6.1 形如 的方程 11

6.2 形如 的方程 11

6.3 恰当导数方程 12

参考文献 14

结 论 15

致 谢 16

1 引言

    在常微分方程概念出现后,人们对常微分方程的研究分为几个阶段:初期为“求通解”时代;早期为“求定解”时代;到19世纪末就进入了“求所有解”的新时代;再到20世纪六七十年代以后发现了具有新性质的特殊的解和方程,迎来了“求特殊解”的时代[1].

    常微分方程是数学里的一个重要学科,许多的数学家对它在数学中的地位的评价都很高,是数学中与应用密切相关的基础学科,其他各个领域也逐渐应用常微分方程来解决一些实际问题.在实际应用中,解决实际问题的一个重要工具就是常微分方程,从而如何对常微分方程进行求解就变得异常重要,对求解技巧的归纳也有一定的实用性.因此,本文就对常微分方程的一些常见方程所用求解技巧进行分析,并更深一步地研究常微分方程的求解技巧.

2 变量分离法

对于一阶可进行变量分离的常微分方程而言,一般先将自变量、自变量的微分和因变量、因变量的微分分别置于方程的两边,再对方程两边分别进行积分,便可求出方程的通解.

2.1 变量可分离方程源:自'优尔.·论,文;网·www.youerw.com/

   形如  或  的方程,称为变量可分离方程.其中我们分别称前者为显式变量可分离方程,后者为微分形式变量可分离方程[2].

   如 , 为变量可分离方程.

2.1.1 显式变量可分离方程变量

     可化为 形式, 

像这种形式的方程被称为恰当方程,容易求得它的一个通积分为

2.1.2 微分形式变量可分离方程

     可化为 ,此方程也形如恰当方程,该方程的通积分可用相同方法便能求出.

    但是在求常数解时,若 ,则 是方程的一个解;若 ,则 也是方程的一个解.

2.2 齐次方程

2.2.1 一阶齐次微分方程 浅析常微分方程的一些求解技巧:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_67089.html

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