摘 要:本文总结了常微分方程的几类常用求解技巧,并且举例说明其求解技巧的适用范围.
毕业论文关键词:常微分方程,参数,分离变量,积分因子61350
Abstract: In this paper, we summarize several common solving skills of ordinary differential equations, and give the examples to illustrate their scopes of applications.
Keywords: Ordinary differential equations ,parameters , separation of variables, integrating factor
1 引言 4
2 变量分离法 4
2.1 变量可分离方程 4
2.2 齐次方程 5
3 常数变易法 6
3.1 一阶线性方程 6
3.2 伯努利方程 7
4 积分因子法 7
4.1 全微分方程 8
4.2 积分因子的选取 8
5 参数法 10
5.1 一阶隐式微分方程 10
6 降阶法 11
6.1 形如 的方程 11
6.2 形如 的方程 11
6.3 恰当导数方程 12
参考文献 14
结 论 15
致 谢 16
1 引言
在常微分方程概念出现后,人们对常微分方程的研究分为几个阶段:初期为“求通解”时代;早期为“求定解”时代;到19世纪末就进入了“求所有解”的新时代;再到20世纪六七十年代以后发现了具有新性质的特殊的解和方程,迎来了“求特殊解”的时代[1].
常微分方程是数学里的一个重要学科,许多的数学家对它在数学中的地位的评价都很高,是数学中与应用密切相关的基础学科,其他各个领域也逐渐应用常微分方程来解决一些实际问题.在实际应用中,解决实际问题的一个重要工具就是常微分方程,从而如何对常微分方程进行求解就变得异常重要,对求解技巧的归纳也有一定的实用性.因此,本文就对常微分方程的一些常见方程所用求解技巧进行分析,并更深一步地研究常微分方程的求解技巧.
2 变量分离法
对于一阶可进行变量分离的常微分方程而言,一般先将自变量、自变量的微分和因变量、因变量的微分分别置于方程的两边,再对方程两边分别进行积分,便可求出方程的通解.
2.1 变量可分离方程源:自'优尔.·论,文;网·www.youerw.com/
形如 或 的方程,称为变量可分离方程.其中我们分别称前者为显式变量可分离方程,后者为微分形式变量可分离方程[2].
如 , 为变量可分离方程.
2.1.1 显式变量可分离方程变量
可化为 形式,
像这种形式的方程被称为恰当方程,容易求得它的一个通积分为
2.1.2 微分形式变量可分离方程
可化为 ,此方程也形如恰当方程,该方程的通积分可用相同方法便能求出.
但是在求常数解时,若 ,则 是方程的一个解;若 ,则 也是方程的一个解.
2.2 齐次方程
2.2.1 一阶齐次微分方程 浅析常微分方程的一些求解技巧:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_67089.html