所以 .
推论3. 若 ，且 ，则有
 证明：已知 ，设 或 ，有 ，取
      对任意 ，有 .
由Jensen不等式可知，有      
              
      故命题得证.
3.Jensen不等式的应用
 Jensen不等式的应用范围很广，不仅可以用于求解不等式问题，还可用于证明一些重要不等式定理．
3.1求解不等式问题
例1.证明不等式 ，其中a,b,c都是正数．
证明：设 由 的一阶和二阶导数      ，      
     由此可知 在 时为严格凸函数.
根据Jensen不等式得 ，则 ，即 又因为 ，所以 .
例2.设 是锐角三角形，求证： .
  证明：由题易知 在 上是凸函数，其中A,B,C
       则由Jensen不等式可知 ，       其中取  则 .       即
       又因为 ，所以        故 .
例3.若 ，则有 .
 证明：构造函数 ，则        所以 是凸函数.        应用Jensen不等式可得
      取 ，满足 .      所以       故 .
例4.若a、b、c为任意的正数，则有 .
证明：构造函数 ， ，易知此函数是凸函数.
     由Jensen不等式可知，      取 .     可得：      由此推出： .
例5.已知a,b,c,d,e都为实数且 ， ，试着确定e的取值范围.
解：构造函数 ，则 在 上恒成立. Jensen不等式及其应用+文献综述(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_6825.html