先从简单的入手，若模为 的复数 如果写成 的形式，一方面，由于 的形式相差不是很大，其次 在复数的乘方法则中，应该仅是辐角的 倍，虚数单位并没有也要 倍，因此虚数单位与辐角不可能是相加关系.而有可能是相乘的关系 ．下面就来审查乘法、除法和乘方法则能否相符．
 ， ,   乘法和除法保持“模相乘除、辐角相加减”、乘方保持“模
的 次方、辐角的 倍”的基本特征．
下面来解决应该选用哪个常数作为底数？若我们将 形式化地看做 与 的“二元函数”，数学是“形式化的学科”，所以，一些形式化地性质应该“形式化”地保持不变．接下来我们对 中 形式化地求“偏微分”.
 ＝ ＝ ＝ .于是 .
这样我们利用不太严格的推理得复数的指数表示形式
 .
而指数形式的严格证明是通过泰勒级数法，将函数 写成泰勒级
数形式 ；
将 带入可得
通过复数的三角形式与指数形式，我们可以得到以下两个公式 .
 ， .
这两个公式被统称为欧拉公式．由欧拉公式可得
 ， .
    在复数的指数形式中，令 ， ，就得到  或 ．综上可知复数指数形式有以下性质.
设 , ，则  ， ， .复数 的 次方根   ．
至此，我们得到了复数的 种表示：几何表示、向量表示、代数表示、三角表示和指数表示．它们在讨论问题时给予我们的方便是不同的，要因问题而异．例如，对二复数作加减运算时用代数式较好，对二复数作乘除运算时用三角或指数式较好．而复数的几种表示方法，根据讨论不同问题时的需要，可以构造复数以及互相转化来解决问题．
2复数几种表示形式的相互转换
2.1代数形式与三角形式的相互转换
  在利用复数各种形式相互转换解题的问题中，代数形式与三角形式的转换在数学问题中是最为常见的，所以了解和掌握代数形式和三角形式的转换是非常重要的.
1.复数的虚部和实部是实数表示的复数化为三角形式
它的算法是通过点 所在象限，判断 的坐标位置，根据公式  和 ，求出角 和模 ，从而得到复数的三角形式.
例1 将下面复数化为三角形式.
    ⑴ ，           ⑵       
解 ⑴由于 ，所以
 . .
又因为 在第 象限内，所以 终边在 象限， .故
 .
⑵  ,所以 ，则
 ， .
又点（-1,1）在第 象限内，所以角 终边在第 象限， .故
 .
2.复数虚部和实部是由三角函数表示的复数化为三角形式
形如 的复数（ ），与复数三角形式相比，只有中间的符号不满足要求，解该类题可先确定此复数所对应的点在哪个象限，然后利用三角函数诱导公式化为三角形式.
例2 将 化为三角形式.
解  
当 时， , ，所以
当 时， ，故  
形如 的复数（其中 ），也是运用三角函数的诱导公式将其转化为复数的三角形式.
例3 将 化为三角形式.
解  ，
显然 ，故有
 .
3.三角形式化为代数形式
由三角形式可知角 所在象限，由此可以确定 值的正负以及的值，联立 即可解出 的值，从而得到复数的代数形式.
例4 将 化为代数形式.
解 由题可知 ， 因为 终边在第 象限，所以     .
故 .
   复数代数形式和三角形式的转化虽然简单，但不能忽略一些基本要求,作为复数的三角形式，必须 复数的几种表示形式+文献综述(4):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_7143.html