例1 求极限 .

解  这个极限的分母中含有 的幂级数,因此我们想到将 展开进行化简.

因为  所以求与 有关的和式极限是较为复杂的问题,但如果这种和式问题能够归结为一个已知和的级数,则由 ,极限问题便能够得到解决.

例2 求极限 .

解   原式= ,因此原式可转化为求级数和的问题.根据 的特点,我们可以考虑幂级数 的求和问题.

由于幂级数在它的收敛区域内逐项可导,故下式成立

两端同时乘 得取 ,得 = = ,

故 = .

3 无穷级数在估计中的应用

众所周知,无穷级数的很多敛散性判别法与数项级数的敛散性判别法是平行的,这是由于数项级数与无穷积分有着密切的联系.

引理3  无穷积分  收敛 对任意数列 :  , , ,级数 收敛于同一数,且  = .

例3  且单调递减， 收敛，试证对其余项和 有估计式