摘要:有时由于被积函数的原函数不是初等函数,不能用Newton-Leibniz公式进行计算;或由于积分收敛但不绝对收敛.从而离不开嵌入法计算广义积分.本文分成嵌入参数和嵌入收敛因子两类讨论.一方面作者运用L积分的极限定理和Fubini定理简化运算换序;另一方面将收敛因子 推广为 ,简化分析性质的证明.64732
毕业论文关键词:积分,嵌入法,参数,收敛因子
0 绪论
“嵌入”思想在中学时代已有所体现.几何学通过添加辅助线能够构造图形,聚拢集中,化繁为简,揭示图形中隐含的性质,发挥特殊点、线的作用;基因工程以分子遗传学为理论基础,以分子生物学和微生物学的现代方法为手段,将不同来源的基因按预先设计的蓝图,在体外构建杂种DNA分子,然后导入活细胞,以改变生物原有的遗传特性、获得新品种、生产新产品……微积分中考虑一维问题(譬如计算定积分).我们不妨把这个问题放到更高维的框架中,例如再引入一个参量,把这个积分作为含参量积分的特例.由于在引入的高维框架中,我们可以有更多的可施展数学工具(如积分、微分等)的天地,就有可能从另一个角度(而这一个角度是我们引入高维框架后带来的)把我们的问题简化,从而达到解决原有问题的目的[1].从效用角度看,添加的“辅助线”,导入的“目的基因”与引入的“参数”异曲同工.
含参量积分,与函数项级数一样,是表达函数,研究函数的重要工具.关于其分析性质的研究,如连续性、可微性和可积性等,牵涉积分运算和其他分析运算的运算次序的交换性.一致收敛性提供了确保运算次序可交换的有力条件.最常用Weierstrass判别法判断一致收敛性。学以致用,分析性质的研究给出了运算合理性的解释,最常用积分号下求微分与积分号下取积分的方法计算含参量积分.有时由于被积函数的原函数不是初等函数,不能用Newton-Leibniz公式进行计算;或由于积分收敛但不绝对收敛.从而这里离不开一个重要手段——嵌入法计算广义积分.
现有期刊书籍多为对Dirichlet积分解法的讨论,或是对广义积分计算方法的讨论,大都涉及嵌入法.具体应用中,嵌入法求积分主要归纳为嵌入参数和嵌入收敛因子两个方面,因此作者尝试从这两方面进行收集整理.本文,作者主要采用文献研究法,数学方法和思维方法,并指出文[10]命题1及定理1的证明有纰漏.
1 预备知识
1.1 含参量正常积分
一般地,设 为定义在 上的二元函数, ,设 作为 的函数在 上有界可积,则 是定义在 上的含参量正常积分.它具有如下主要性
命题1.1 (极限性质) 设 是 的聚点,若 ,且收敛关于 是一致的,则 在
命题1.2(连续性)设 ,
在 上连续.
命题1.3(交换积分次序)设
命题1.4(可微性)设 命题1.5设 在 可导,则
1.2 含参量反常积分
1.2.1 一致收敛性
含参量 (1.1)
( 是有限或无穷区间)的分析性质研究的一个重要条件是积分关于参量的一致收敛性.
设积分对每一个 收敛.如果 对一切 ,成立
则称含参量反常积分(1.1)关于 一致收敛.
除了用上述定义外,判定含参量反常积分(1.1)的一致收敛还有下述方法.
1.Cauchy一致收敛准则
2.Weierstrass判别法(M判别法)设
3.Abel判别法 积分嵌入法参数收敛因子:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_72038.html