符号函数及其应用

摘要：符号函数是一个特殊的分段函数，本文从符号函数的定义出发，讨论了符号函数的相关性质，总结了符号函数在证明不等式、简化积分计算以及在几何画板上的应用.

毕业论文关键词：符号函数，不等式证明，不定积分，定积分，几何画板64738

Abstract : In this paper, sign function was a special piece-wise function. According to the definition of sign function, the relevant nature of sign function was discussed. Its application in proving inequality, simplified integration and geometer sketchpad were summarized.

Keywords：sign function, inequality proof, indefinite integral, definite integral, geometer sketchpad

1 引言4

2 符号函数在证明不等式中的应用4

3 符号函数在积分计算中的应用7

4 符号函数在几何画板上的应用 12

结论15

参考文献16

致谢17

1 引言

符号函数（sign function,简称sgn）是一个逻辑函数，用于判断实数的正负号.其定义为：

对 , ,

记号，由拉丁文signum(符号，正负号)得来.

符号函数是由19世纪德国数学家克罗内克(Kronecker,Leopold)引进的，所以又称克罗内克函数.克罗内克(Kronecker,Leopold,1823-1891),1842年入柏林大学，1845年毕业，并于1849年以关于代数数域中单位的论文在此获得博士学位；1861年在柏林大学任终身教授，同年被选为柏林科学院院士；1884年被选为英国皇家学会会员，他还是彼得堡科学院院士和法国科学院院士. [1]

符号函数是一个特殊的，具有明确特性的分段函数，易知符号函数具有如下性质[2]：论文网

（1）任何实数都可表示为其绝对值和符号函数的积，即

；

（2）符号函数有以下形式：

；

（3）符号函数是绝对值函数除零外的导数，即

, ；

（4）在任意区间上黎曼可积，且

符号函数在数学多分支上有着广泛的应用，它是解决许多数学问题甚至物理问题的有力工具.本文主要总结了符号函数在证明不等式，简化积分计算以及在几何画板上的应用.

2 符号函数在证明不等式中的应用源:自~优尔·论`文'网·www.youerw.com/

由符号函数的定义知，某一数学表达式通过符号函数运算后，若，那么 ,若，那么 .因此，用符号函数证明不等式，可以将不等式的证明问题转化为符号函数的等式问题，使不等式的证明更加简洁明了.

例1 [3] 设，定义， ,

（1）若，则数列单调递增；

（2）若，则数列的子列单调递减，单调递增.

证明（1）由假设，显然有，于是有

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