由引理1我们可以直接得出下面的定理. 来.自/优尔论|文-网www.youerw.com/
定理 数域 上 阶矩阵 可对角化的充要条件是:
1) 矩阵 的每一个特征根都在数域 上;
2) 对 的任一个特征根 ,均有 ,其中 的重数.
条件(2)等价于 的每一个特征值 的重数等于其所对应的特征向量的个数.
条件(2)等价于 的每个特征根的重数之和是 ,也就是说属于 的不同特征值的特征向量的总数是 .
例1 设
判断 是否可以对角化?
解 的特征多项式为
则 的特征值为 、 .
对特征值 ,解方程 ,得
,
它的基础解系为
.
对特征值 ,解方程 ,得
,
它的基础解系为
.
因此特征值 有两个线性无关的特征向量, 特征值 有一个特征向量.依据定理2知,矩阵 可对角化.
定理 数域 上 阶矩阵 可对角化的充要条件是 的最小多项式无重根.
证明 必要性 因为 可对角化,则有可逆矩阵 使
浅谈n级矩阵可对角化的条件(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_73780.html