一类生态流行病模型的动力学性质

摘要：本文研究了一类食饵染病且带有食饵保护的捕食模型,运用线性化方法,讨论了该模型平衡点的局部稳定性；然后,考虑到空间因素,在系统中引入扩散项，进而考虑了扩散捕食系统正平衡点的局部渐近稳定性．66012

毕业论文关键词：捕食系统，平衡点，局部稳定性，线性化方法

Abstract: In this paper, a class of predator-prey model with infected prey and prey refuge is studied. With the method of linearization, we discuss the locally asymptotical stability of equilibria of the model. Considering the spatial factor, the diffusion is introduced into this system and the local asymptotical stability of the positive equilibrium of diffusive predator-prey system is considered.

Keywords: predator-prey system, equilibria, local stability, the method of linearization

1 引言6

1.1 研究背景6

1.2 数学模型8

2 常微分捕食系统平衡点的局部稳定性 10

2.1 平凡平衡点与半平凡平衡点的局部稳定性 11

2.2 正平衡点的局部稳定性 13

3 扩散捕食系统正平衡点的局部稳定性 14

结论 18

参考文献 19

致谢 21

1 引言

1.1 研究背景

生物数学是人文科学中的一门极其重要的学科，对生态系统的研究有着不可或缺的作用．它是一门生命科学与数学交叉的学科，凝聚着无数人的心血．一方面，在生物学的问题上，运用了数学的方法对其进行了研究和解决，加快了生物学的发展；另一方面，对与生物相关的数学理论和方法而言，有了深入的探索和研究，同时也扩宽了数学的领域，增加了数学分支．近几十年来，随着技术的发展，科技的爆发，科学界的领域进展飞快，同样的，生物数学的发展也极其迅速，各个杰出科学家取得的大量举世瞩目的成就，他们的研究成果惠及了人类生活的各个领域．值得一提的是，在研究生物数学的过程中，孕育了很多重要的分支学科，这在很大程度上推动了人类在生产实践活动和科学研究中的发展进程．是以，生物数学的重大突破，使其成为了当今世界上科学研究中最最为引人注目的领域之一．参见[1-3]．论文网

传染病是人类史上一个不可避免的元素，疾病通过接触的方式由染病的传给易感染的，使得疾病得到扩散．例如，在14世纪的欧洲，黑死病杀死了将近四分之一的人口．在自然界的其他种群中，传染病依旧无法避免，例如，在二十世纪五十年代，澳大利亚的兔子数量由于多发性粘液瘤病而急剧减少；再如，在十九世纪末的非洲，牛瘟导致了野生生物的高死亡率．每一次传染病的爆发和传播都给生物种群的生存和发展带来巨大的磨难和阻碍．因此，预防传染病便成为研究的重要课题．

生态和流行病是其各自领域内的重要课题，但在这些系统中，它们又有一些共同的部分．从数学和生态角度来说，疾病在生态中的影响是一个重要的问题．科研工作者们将越来越多的兴趣和精力在这两个课题的交叉研究上．总所周知，在调查传染病的传播和预测发展趋势上，许多传染病模型起到了巨大的作用．文献综述

1798年，种群动力学首次被提出，生物流行病学开始萌芽．英国的人口学家马尔萨斯(Malthus)在其所写的《人口学原理》一文中，最早的提出了单种群动力学模型，即为如下的微分方程模型：

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