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矩阵的等价标准形及其应用(2)

时间:2021-08-20 19:30来源:毕业论文
施行初等行变换,把它化成 形式的矩阵即可,其中 就是 的逆矩阵. 类似地,可以得到用初等列变换求逆矩阵的方法.即对矩阵 施行初等列变换,把它化成

施行初等行变换,把它化成

形式的矩阵即可,其中 就是 的逆矩阵.

类似地,可以得到用初等列变换求逆矩阵的方法.即对矩阵

施行初等列变换,把它化成

     

形式的矩阵,其中 就是 的逆矩阵.

(2)利用等价标准形进行矩阵分解

对于给定的矩阵 ,是否可以将其写成成两个矩阵乘积的形式?下面我们介绍矩阵的满秩分解定理.

设 中矩阵 的秩为 ,则存在数域 上的 列满秩矩阵 和 行满秩矩阵 ,使得 .

证明  因为 的等价标准形为

其中 是 阶可逆矩阵, 是 阶可逆矩阵,从而令

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