收敛于向量 的充分必要条件是

  又对任意 ，满足再由极限存在定理得 或者

这表明向量序列 若按某种范数收敛，则按别的范数也收敛。

  定义1.1：设 为 阶方阵序列，且对应的A为n阶方阵且

  引理 1.2：设 均为n阶方阵，则矩阵序列 收敛于矩阵A的充要条件为

  以上关于向量序列和矩阵序列的定义充分说明了，关于求解其收敛可以对向量对应的分量以及矩阵对应的元素来求其极限。

1.2 Jacobi迭代法

  设有方程组    记作：Ax=b,

 为非奇异矩阵

 将系数矩阵 分解为对于线性方程组 来说，则系数矩阵可以分为对应的对角矩阵，严格下三角和严格上三角只差。从而线性方程组可以转化为

由此可得到迭代法的矩阵形式

其中 为Jacobi迭代矩阵。来,自|优;尔`论^文/网www.youerw.com

给出n阶系数矩阵，设 （i=1,2,...,n）且解出对应的 ；

可以得到计算公式(雅可比迭代法) ：

 对应的 表示迭代次数。      （1.2.1）

 由（1.2.1）式可以得知Jacobi的迭代公式比较简单且每次迭代每次迭代只需要计算一次矩阵和向量的乘法并且在计算过程中系数矩阵 保持不变。  

  Jacobi迭代算法    

  1，输入题目中对应的系数矩阵 ，对应维数n,

 精度 ，最大迭代次数为N。

  2,设 。

  3，对    

  4，若 ，输出x,则计算机停止计算。否则进行下一步；

  5,当 ，且 转到第三步计算，否则信息错误，停止计算。

 注释：Jacobi迭代法的编写程序比较简单，计算公式容易让人理解不需要太多参数，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，它的优势还有个就是在计算过程中它的迭代矩阵始终保持不变，比较容易并行计算。但是因为它具有迭代收敛速度慢花费时间常，而且占据的存储空间相对于其他迭代法来说比较大，所以在实际计算大量的方程组中一般不直接用雅克比迭代法。