Mikusinski算符演算理论首先确立的是算符域和相应的算符代数运算体系，这种方法比拉普拉斯（Laplace）变换的方法要更加好一些，因为它在求解过程中是不需要借助变换的，而是用像推演这样的方法。 比如在一般的常微分方程理论中，经常用Laplace变换的方法求解常系数非齐次常微分方程，先要求出对应的齐次方程的通解，然后再求原方程的一个特解，这样分两步进行求解的方法在一些复杂的微分方程的求解过程中就显得比较麻烦了，但是用M算符求解就不用分这两步进行，只需要一步就可以了，更加优越一些。 

像一般的常系数线性的常微分方程以及差分方程，我们都能够用Mikusinski算符演算理论来求解，其中对于乘法的定义也是受到了解析函数级数间乘法定义的启示，定义了某一类移动算符级数间的乘法，在Mikusinski收敛意义下，这样定义的乘法刚好是相等的，所以一般的n阶常系数此类方程的求解问题也可以得到解决。 

而对于变系数线性的常微分方程、差分方程以及差分微分方程，这一理论也能够对其进行求解，因为它还引入了变数算符，此外Q中还有微分算符和移动算符，研究这三个算符之间的关系后，我们得出了一些结果，借助这些结果，能够成功求解出一般的n阶变系数的此类方程。 由此可见这一理论的应用是十分广泛的。 此外，这一理论对于工程技术人员来说也是非常有意义的，因为理解和应用这一理论只需要具备普通的微积分知识和一定的数学理解能力。文献综述

    运用Mikusinski算符演算理论，数学研究者们解决了更一般的低阶常系数线性差分微分方程的求解问题（一阶、二阶、三阶），但对于高阶的并没有进一步地研究归纳，所以受此启发，本文将对更高阶以及n阶的情况进行研究。 

1。2 主要研究内容

本文主要研究的是广义的n阶常系数线性差分微分方程解的存在定理，这类方程几乎包括了已经研究过的所有特殊情况，还包括一些更为一般和复杂的情况，是非常全面的，对于这类方程，我们将先对四阶、五阶的此类方程进行求解，得到级数形式的解，然后，综合一到五阶的求解过程，通过推导进一步对广义的n阶常系数线性差分微分方程的求解进行研究，并最终归纳出它的级数形式的解。 

本文运用的主要方法是算符演算理论，这种方法适用于许多类方程，在本课题的研究中也能够感受到它的优越性，主要体现在它先将方程转化成算符方程，再利用移动算符幂级数的收敛性质以及在算符收敛意义下的有关结论，得出方程的级数形式的解。 

1。3 预备知识及研究工具

1。3。1卷积的性质

(1) 可交换性：f∙g=g∙f

(2) 可结合性：(f∙g)∙h=f∙(g∙h)=f∙g∙h

(3) 对加法的分配律：f∙(g+h)=f∙g+f∙h

(4) Titchmarsh定理：f∙g=0 ⇒ f≡0或g≡0

1。3。2 无零因子环

    设R为环，如果R中元素a≠0,b≠0，但ab=0，那么称a是R的一个左零因子，b是R的一个右零因子，这两个概念是相互依赖，即左零因子⇔右零因子。 若环R中没有左零因子，也没有右零因子，则称R为无零因子环。 

1。3。3 整环

一个非零环R叫做一个整环，对任意的a,b属于R，若

(1) 乘法适合交换律ab=ba；(2) R有单位元e；(3) R没有零因子；

则R是整环。 

1。3。4 商域

R是一个环，F是一个域，若F满足

(1) R同构与F的子环S；(2) 任给x∈F，存在a,b∈S，使x=ab^(-1)；

则称F是R的商域，每个整环都有商域。  广义n阶常系数线性差分微分方程解的存在定理(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_81685.html