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一类不等式的概率证法(2)

时间:2021-09-29 20:34来源:毕业论文
2。3 数学期望及其相关性质 定义 设离散型随机变量 的分布律为 ,如果, , 则称 为随机变量 的数学期望,或称该分部的数学期望,简称期望或均值。

2。3 数学期望及其相关性质

定义  设离散型随机变量 的分布律为 ,如果, ,

则称    为随机变量 的数学期望,或称该分部的数学期望,简称期望或均值。

若 不收敛,则称 的数学期望不存在。

定义  设连续性随机变量 的密度函数为 。如果                       

则称                   

为随机变量 的数学期望,或称为该分布的数学期望,简称期望或均值。若  不收敛,则称 的期望不存在。 

性质3  对随机变量 ,当 存在时有

定义  设函数 在可测集 上有定义,如果对于任意的实数 ,集合 都是可测集,则称 为可测集 上的可测函数,或称 在 上可测,特别的,若可测空间取为是 上的 可测空间, 是 中的 集,则 上的可测函数称为 可测函数。来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

定理  设 是 上的随机变量, 为样本空间, 的全体子集记作 , 为概率, 可测函数,则

特别地,若 是连续型随机变量,其密度函数是 ,则

若 是离散型随机变量,其分布律为 ,则

定义  设 是 上的随机变量,若 为定义在某区间 上连续的下凸函数,则

若 为定义在某区间 上连续的上凸函数,则 

 。

3 不等式的概率证法举例

3。1 代数中不等式的概率证法举例

在运用概率方法证明不等式时,应当仔细观察不等式的特点。如下面的例1,虽然题目看起来十分复杂,但是仔细观察就会发现,每个括号中的式子可以化简为个事件的和。此时如果运用一般的代数方法会显得复杂冗长,就不如用概率论中的知识来解决简单方便的多。

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