二。 e 是指数(exponential)的第一个字母,所以用其表示; 三。欧拉(Euler)取用自己名字的第一个字母来表示。

在中学数学课本上,我们学到了 e 2。71828,课文中写到:”在科学技术中,常常使 用以无理数 e 2。71828为底的对数。以 e 为底的对数叫做自然对数。为了简便,N 的自然

对数loga N 简记为 lnN。” 那么到底什么是 e ?

下面通过例子对常数 e 做出直观的诠释：

若存在一群单细胞生物每经过 24 小时就能全部分裂一次,则 24 小时后细胞的总数量 是原来的两倍(在不考虑死亡与变异等情况下)。

因此我们可以写出它的增量公式：细胞总数为

其中x 表示天数。 这个式子也可以写成:

其中,1 表示原有细胞数量,100%表示单位时间(即 24 小时)的增长率。 根据细胞生物学,可知每过 12 小时,也就是分裂到一半时,平均会产生一半原数量的

新细胞,新产生的细胞在后来的 12 小时也已经在分裂了。

所以一天 24 小时可以分成两个时间段,每一个时间段的细胞数量都是在前一个时间 段的基础上增长 50%,即

即过了一个单位时间后,细胞的总数量可以增加至原细胞数量的 2。25 倍。

假如这种细胞每经过 8 小时就可以产生新的细胞,且新细胞一出生就已经具备了独立

分裂的能力,那么 1 天时间就可以分成三个时间段,一天后细胞的总数量会增加至:

故最终细胞数会扩大为原来细胞数量的约 2。37 倍。 实际上,细胞分裂是连续的、不间断的、每时每刻都在产生新细胞,新细胞也会和母体

一样持续分裂,所以一个单位时间(24 小时)后最多可以得到:



当增长率为 100%恒定不变时,即单位时间内细胞种群数量最多也只能扩大为原数量的 2。71828 倍。数学家们把这个得到的数简记为 e。它的含义是在单位时间内,持续翻倍增长 所能达到的极限值。

这个值是自然增长所能达到的极限,所以以 e 为底的对数,就叫作自然对数。

4 常数 e 的性质

4。1 常数 e 的数学定义

常数 e 是自然科学中一个重要的常数,是一个无限不循环小数,即 e 是无理数。 因为常数 e 不可能是任何整系数代数方程的根,故 e 是超越数(超越数是不能满足任何

整系数代数方程的实数)。

常数 e 常见的数学定义有四个,如下所示: 3

(1)可定义 e 为下列无穷级数之和:

其中 n！表示 n 的阶乘;

(2)可定义 e 为唯一的正数 x ,使

(3)可定义 e 为下列极限值:

e lim11 ;

(4)可定义 e 为唯一的实数 x ,使

在《高等数学》这本教材中,常数 e 被定义为数列 1 1 



的极限值和极限夹逼定理,

同时可得函数11 

在 x 时的极限值也为 e,即