浅谈两个线性方程组的解(3)

a t

 a t

a t

b k

 b k

bk ,

1 1 22

即有

r1r1

11 2 2

r2 r2

a ta t

a t

 b k

b k

0 ，

1 1 22

r1r1

11 2 2

r2 r2

因此向量组

t1 , t2 ,, tr , k1 , k2 ,, kr线性相关，得证。

1 2

引理 1[3] 设 A 为 m n 矩阵， A 的秩等于 n r

n ,且 t , t

,, t

是齐次线性方程组

1 1 1

1 1 2 r1

A1 X 0 的基础解系；设 A2 为 m2 n 矩阵， A2 的秩等于 n r2 n ,且 k1 , k2 ,, kr 是齐次线性方程组 A2 X 0 的基础解系。那么，方程组 A1 X 0 与 A2 X 0 有非零公共解的充分必要条件是

A1k1 , A1k2 ,, A1kr 线性相关。

证明必要性若已知线性方程组 A1 X 0 与 A2 X 0 有非零公共解，不妨设为 a ，显然有

a 0 ，又齐次线性方程组 A2 X 0 的基础解系为 k1 , k2 ,, kr，则 a 可由 k1 , k2 ,, kr线性表

示，设 a l k

 l k

l k

，其中 l , l

,, l

2 2

不全为零。由 A a 0 ，所以

1 1 2 2

sr2

1 2 s 1

0 A a l A klA k ,

因此 A k , A k

,, A k

线性相关。

111

r2 1 r2

11 1 2

1 r2

充分性若 A k , A k

,, A k

线性相关。则存在不全为零的数 l , l ,, l

，使得

11 1 2

1 r2

12 r2

0 l A k

lA k

A l k

lk ,

111

r2 1 r2

111

r2 r2

设l k

l k

, 则是 A X 0 的非零解，且 A 0 ，则齐次线性方程组 A X 0 与

11 r2 r2 1 2 1

A2 X 0 有非零公共解。

我们依据定理 1 将两个方程组推广到 ss 2个方程组，可以得到以下结论。

定理 2[2] 设 A 为 m n 矩阵， A 的秩为 n r n ,且知线性方程组 A X 0 的基础解系为

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