该数列前 n 项的和为 Tn
3 高考数列中求通项公式的各类方法
3。1 观察法、公式法 观察法与公式法是解决数列通项公式的最基本的方法。
定义 4[2]:即要抓住题目已知的各项特点,与常见的数列形式相联系进行比较,经过 比较,发现其中的相同点,再通过变形等,探索出各项的变化规律,从而找出各项与项 数 n 的关系,写出通项公式。论文网
定义 5[2]:即当已知数列为等差或等比数列时,只需求得首项及公差或公比,可直接 利用等差或等比数列的通项公式的定义写出该数列的通项公式。
2 2 2 2
例 1 设{ an }是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 n 项和,满足 a2 a3 a4 a5 ,
S7 7 。 求数列{ an }的通项公式及前 n 项和 Sn 。 (江苏 2009 年第 17 题第 1 问)
分析 可以通过观察发现,题目需要求数列通项公式及其前 n 项和,已知满足两个关 系,并且还是等差不为零的等差数列,这样就可以直接通过公式的方法来解决。
解 由题意得,可设等差数列{ an }的通项公式
an a1 (n 1)d , d 0 。
由 2 2 2 2
化简得 又因为 所以
由上面两个等式可知
所以数列{ an }的通项公式为
a2 a3 a4 a5
2a1 5d 0 。
S7 7 ,
a1 3d 1 。
a1 5 , d 2 。
an 2n 7 ,
其前 n 项和
S n(a1 an ) n2 6n 。
n 2
例 2 在各项均为正数的等比数列{ an }中,若 a2 1, a8 a6 2a4 ,则 a6 的值是 。
(江苏 2014 年第 7 题)
分析 题设说明是正数并且还是等比数列,通过观察发现,可以运用等比数列的通项 公式来解决,由此运用公式法,可以得到最后结果是 a6 4 。
解 等比数列通项公式为
因为 a2 a1 q , a8 a1 q ,
3
a4 a1 q ,
a6 a1 q ,
然后通过代入转化,求出
通过观察法,把题目简单化,再通过公式法,把题目中已知条件转化为所需要的条 件,根据公式的要求把相应的未知数求出来,然后代入,解决问题。 观察法和公式法的 合并用,让问题简单化,使得题目有针对性,让题目更容易解决。
3。2 累加、累乘法 累加、累乘法,顾名思义,就是一个一个叠加起来和一个一个的乘起来,通过变形
转化,使得问题转化成熟悉的形式,再把所求的通项公式求出来。
n1
例 3 已知数列{ an }满足 a1 1, an 3
3n 1
an 。(2003 年全国卷文科第 19 题)
2
an1 (n 2) 。(1)求 a2 , a3 ;(2)求证:
分析 第(1)小问可直接带入来解决,第(2)小问要先根据题意得到一个数列关系
式,即 an
an1
3n1 (n 2) ,由此可以利用累加法得到结果。 高考数列中求通项公式的各类方法(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_82662.html