%fi

M μ

y

μ M

y

N μ

x

μ N ,

x

‰g•

N μ

 M μ

( M N )μ 。

x y y x

3 主要结论及证明

命题 1 ¸ F F (x, y) %} ƒ x, y % K~ª ½ ,®{¼(1)$:®

μ (F (x, y)) Ç%Ç5=fl%

MN

y

N F

x

x

 M F

y

(F (x, y)) ,

‰$(F ) $º¾%}ƒ F %½ ,%fl%$ Ç

μ (F ) ce( F ) dF 。

½š flg 1 ${¼(1)$ Çμ (x, y) %Ç5=fl%(²)fifl¾,$L‰

=flªÀ,$:®μ (F (x, y))Ç%Ç5=fl%

N (μ (F )) M (μ (F )) μ (F )( M N ) ,

x y y x

%fi

Nμ (F ) F Mμ (F ) F μ (F )( M N ) ,

x y y x

‰g•

MN

μ (F ) 

y x

(F ) ,

μ (F )

N F M F

x y

fl4 ®$ lnμ (F ) (F )dF c ,®fl%$ Ç

μ ( F )ce ( F ) dF。

Ãz•½。

4 应用举例

OP½‡fl% F $ fl“…$L‰Ãz%flv¢$‰L,OPQĉ L,fl“ªfiÅ$fifi¢$% ÇÈ%Ãz 1 %flÉ:。

推论 1 &pide; F  ax  by ,®{¼(1)$:®μ (ax  by) S Ç%Ç5

MN

=fl%y x ¾%}ƒ ax by %½ ,½fi(ax by) ,%

aN bM

MN

y x (ax by) ,

aN bM

fl%$ Çfiμ ( F ) ce ( F ) dF

,‰$ F ax by 。

ÌK,fl“…$fif¢$KL„

MN

(1)@ a 1, b 0 ,®flfl¾fl x $}% Ç%Ç5=fl%y x ¾

N

%}ƒ x %½ (x) 。

MN

(²)@ a 0, b 1 ,®flfl¾fl y $}% Ç%Ç5=fl%y x ¾

 M

%}ƒ y %½ ( y) 。

@ƒ[²],[3]ȼL‰‰L%f~¿%L‰,f@ƒ[t]$%‰L 3 p%L

‰‰L{ a 1, b 1%%flÉ:。fÏfl“‡†™š*‰L%ƒ$。

† 1 fi{¼ x[(2x y)3 y3 ]dx y[(2x y)3 2x3 ]dy 0 %Ç,¢fi$

{¼%b。

一阶常微分方程的一类积分因子(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_82721.html