第三章,给出其中三种迭代法在线性方程组中的应用,分别是雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法以及SOR迭代法,各给出1—3个例题加以说明。
第二章 几种基本迭代法的介绍及推导
在本章中,我们介绍几种基本的迭代法,包括雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、SOR迭代法、分块迭代法及共轭迭代法,然后推导出其对应的收敛公式。通过对迭代法的了解,学习和领悟其中的数学精神和思想。
2。1 雅可比迭代法
2。1。1 雅可比迭代法的基本条件[6]
迭代法与直接法不同,,不是通过预先规定好的有限步算术求得方程组的解,而是用某种极限过程去逼近 精确解的方法,即从某一个初始向量 出发,按一定的迭代格式产生一个 ,使其收敛到 的精确解。一般 的计算公式是: ,式中 与 , 有关,称为多步迭代法。若 只与 有关,即 ,这称为单步迭代法。再设 是线性的,即 ,其中 称为单步线性迭代法, 称为迭代矩阵,若 和 与 无关,即 称为单步定常线性迭代法。
设 其中 为非奇异,满足方程 。
即其中 ,而 和 分别为 的严格下、上三角部分(不包括对角线) 。
2。1。2 雅可比迭代法原理及迭代公式推导
1。 雅可比迭代法原理
根据以上条件,现设 非奇异,即 。选取 为 的对角元素部分,即选取 ,等价于 ,由此构造迭代法 ,其中向量 和迭代矩阵 为 。式子 称为雅可比迭代法,也称 法。可以得到 ,进而得到它的分量形式 ,用雅可比迭代法计算 ,要用两组单元存放向量 和 。文献综述
2。 雅可比迭代法迭代公式的推导
下面给出雅可比迭代法的分量计算公式,记
,
由雅可比迭代公式
于是,解 的雅可比迭代法的计算公式为
由上式可知,雅可比迭代法计算公式简单,没迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法且计算过程中原始矩阵 始终不变。
其收敛条件:
设 ,其中 为非奇异矩阵,且对角矩阵 也非奇异,则解线性方程组的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ,其中 。
2。2 高斯—塞德尔迭代法
1。 高斯—塞德尔迭代法原理[6]
其基本的前提原理与雅可比迭代法类似,只是最后的迭代形式有些差别。
如果令 ,这样我们便可以得到高斯—塞德尔迭代法,简称为G—S法。
其中: 。
2。 高斯—塞德尔迭代法迭代公式的推导
选取分裂矩阵 为 的下三角部分,即选取 (下三角矩阵), ,于是由式 ,得到解 的高斯—塞德尔迭代法
其中, ,称 为解 的高斯—塞德尔迭代法的迭代矩阵。
下面给出高斯—塞德尔迭代法的分量计算公式。记
于是解 的高斯—塞德尔迭代法计算公式为
由高斯—塞德尔迭代公式可知,计算 得第i个分量 时,利用了已经计算出的最新分量 ,高斯—塞德尔迭代法可看作雅可比迭代法的一种改进。
2。3 SOR迭代法
1。 SOR迭代法的原理来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com
SOR迭代法[6]的原理与雅可比迭代法及高斯—塞德尔迭代法的基本相同,只是在迭代过程中加入了松弛因子而有所不同。
2。 SOR迭代法收敛公式的推导
选取分裂矩阵M 为带参数的下三角阵
其中ω> 0 为可选择的松弛因子。
于是, 由上式可构造一个迭代法, 其迭代矩阵为
线性方程的迭代求解(3):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_84745.html