5。函数的单调性与不等式 13

5。1函数的单调性 13

5。1。1函数单调性的定义 13

5。1。2定义的符号表示 14

5。1。3函数单调性的定理 14

5。2利用函数的单调性证明不等式 14

5。3利用函数的单调性证明不等式的解题步骤 15

6。函数的极值、最值与不等式 16

6。1函数的极值 16

6。1。1函数极值的定义 16

6。1。2函数极值定理 16

6。2函数的最值 17

6。2。1函数最值的定义 17

6。2。2函数最值定理 17

6。3利用函数的极值、最值证明不等式 19

7。函数的奇偶性与不等式 21

7。1函数奇偶性的定义 21

7。2利用函数的奇偶性证明不等式 22

8。初等数学的基础证明方法 22

8。1比较法 22

8。1。2 作差法 22

8。1。2 作商法 22

8。2 综合法 23

8。3 分析法 23

8。4 放缩法 24

8。5 数学归纳法 24

8。6 反证法 25

8。7 换元法 25

8。7。1变量替换法 25

8。7。2 增量替换法 26

8。7。3 三角换元法 26

9。结论 26

10。致谢 28

11。参考文献 29

1。 引言

1。1不等式证明的历史背景

数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起。在数量关系这个层面，与相等关系相比较而言，不等关系虽然更加广泛地存在于现实中，但是人们对于不等式的认识与方程相比要晚了很多年。到17世纪的后期，不等式的理论才开始逐步发展，担纲数学基础理论的一个重要角色。东欧国家有一个较大的不等式研究群体，特别是原南斯拉夫国家。当前，对不等式理论产生兴趣并投入精力进行研究的数学工作者遍布各地。不等式的证明起初是源于Hilbert不等式，一类离散型不等式的证明。

    在数学不等式理论发展史上有两个事件具有分水岭的意义，分别是: Tchebycheff在1882年发表的论文和1928年Godfrey Harold Hardy任伦敦数学会届满时的演讲。G。 H。 Hardy 和 John Edensor Littlewood的著作Inequalities的前言中对不等式的哲学给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明，证明应该是“内在的”，而且应该给出等号成立时的证明。而A。 M。 Fink认为，人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式。自从著名数学家G。 H。 Hardy，J。 E。 Littlewood等人的著作Inequalities由剑桥大学于1934年出版以来，数学不等式理论及其应用的研究正式登场，成为了一门新兴的数学学科，从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立公式的综合，它已发展成为一套系统的科学理论。文献综述 函数性质在不等式证明中的应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_85101.html