2  压缩映像原理与迭代法

压缩映像原理在数学分析中求积分方程的解,证明常微分方程解的存在唯一性有着重要依据,在数值分析中代数方程求解的发挥着显著的作用。它是一个简单而常用的存在性定理,不但论证了方程解的存在性和唯一性,而且给出了求方程解的方法（逐次逼近法）,也就是迭代法。文献综述

迭代法是数值计算中的一类典型方法,不仅用于方程求根,而且用于高次方程求根线性方程组求解等许多问题。

迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法,首先取一个粗糙的近似值，然后用同一个递推公式,反复校正这个初值，直到满足给定的精度为止。

定义1。[2]如果定义在有限区间 上的函数 满足下列两个条件,就说 是区间 上的压缩映像。（１）当 时,就有 ;（２）只要 都属于区间 ,就有 ,其中 是小于1的正实数,称为压缩系数。

定理2。[3]如果 是有限区间 上的压缩映像,则（1）当 时, ;

（2）当任意 ,存在 ,使 ,则方程 在 上有唯一的 ,且对任意初值 时,迭代序列 收敛于 ,且有下列误差估计 

 。

定理3。[4]设 的根 的邻域中有连续的一阶导数,且 ,则迭代过程 具有局部收敛性。

定理4。[5]设 是 维Euclidean空间, 是给定 的实矩阵, 是 中给定的向量,则线性方程组 有唯一解 的充分条件是: 正定，其中 是单位矩阵。

    定义2。设所给方程组为 来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*                       （1）

其中， 是 阶方阵， 是已知身量， 是未知向量。任取 代入（1）的右端，算得的结果记为 ，再以 代入（1）的右端，算得的结果记为 ，如此进行下去，便得迭代格式

此格式称为Jacobi迭代格式，称 为迭代矩阵。

3  迭代法的应用

     压缩映像原理与迭代法在数学中有广泛的运用,一般用于数学分析中的递推数列极限和代数中的高次方程求根与线性方程组求解等方面。