故 在 上严格递增，由积分第一中值定理（条件加强）可得存在一点  使得   成立两边取极限得

结语：

1、在原有的积分第一中值定理中加强了被积函数的条件得出了至少存在一点 的结论。

2、就例2而言，积分中值定理的方法更具一来,自,优.尔:论;文*网www.youerw.com +QQ752018766-般性。

3 积分中值定理的应用

3。1求函数在一个区间上的平均值

积分第一中值定理的几何意义的应用

由华东师范大学数学系编。数学分析（上册）第220页积分第一中值定理的几何意义知 可理解为 在区间 上所有函数值的平均值。

通常利用积分第一中值定理这一几何意义来求函数的平均值

例题3、试求函数 ，在 上的平均值。

解：所求平均值为

例题4、试求心形线 上各点极径的平均值。

解：所求平均值为

注：求解某区间上函数平均值主要应用了积分第一中值定理。具体解法：1、确定被积函数在积分区间上连续；2、在这个区间上对函数进行积分；3、积分结果除以区间差值