高阶方程的若干解法(2)

在科研、社会以及日常生活中，微分方程的求解方法似乎都有特殊的意义。所以作为理论联系实际的一种最为关键的途径，数学更应该发挥它的巨大作用。本文首先列举在一阶、二阶微分方程中几种种常见的解法，其次对几类高阶方程展开具体的讨论和分析。论文网

2 高阶方程解题方法的简单介绍

2。1 高阶方程定义及解的定义

高阶方程的定义：

高阶方程一般形式分为两种，如下：

n阶隐式方程的一般形式为

，（2。1）

n阶显式方程的一般形式为

。

这类的方程称为高阶微分方程，式中F是所有变元的连续函数。求解方程(2。1)的重要的方法就是降阶法。

方程的解的定义

什么叫方程的解？其实就是符合等式两边的未知数的值。高阶方程能够化为一阶方程组，但能够求出通解的可能性和数量还不是很多。因此在本文中，首先从低阶方程开始入手，比如一阶、二阶开始，逐步过渡到高阶方程，主要目的是先将低阶方程的各种解法进行总结和归纳，为之后研究高阶方程打下基础。

设函数在区间L上有直到n阶的导数，如果把代入到方程

中，从而可以得到在区间L上关于x的恒等式是

那么就可以称是方程在区间L上的一个解。

2。2 常见的高阶微分方程几类基本解法

1、可降阶的高阶微分方程的解法

（1）型，解法：接连积分n次，得通解。

（2）型，特点：不显含未知数，

解法：令，，代入到原方程中得出。

（3）型，特点：不显含自变量，

解法：令，代入原方程，得。

2、线性微分方程解的结构

（1）二阶线性微分齐次方程解的结构，

形如。（2。2）

若是解，则也是解；

若是两无关解，则是通解。

（2）二阶线性微分非齐次线性方程的解的结构，

形如。（2。3）

那么非齐次方程的任意两解之差应该为相应齐次方程的解；

那么非齐次方程通解=齐次方程解+非齐次方程特解。文献综述

若则；

若是的特解；

那么分别是的特解。

3、二阶常系数齐次线性方程的解法

解法：特征方程法

形如，其为n阶常系数线性微分方程；

，其为二阶常系数齐次线性方程；

，其为二阶常系数非齐次线性方程。

解法: 由二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解，这种求解的方法称为特征方程法。

例特征方程为：，

特征根的情况通解的表达式

实根实根复根

推广：n阶常系数齐次线性方程的解法

特征方程为

，

特征方程的根通解中的对应项