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MATLAB基于最小二乘法的曲线拟合研究(4)

时间:2022-02-08 20:42来源:毕业论文
2 基于最小二乘法的曲线拟合理论 在本章中,我们主要介绍了基于最小二乘法的曲线拟合原理。通过数学公式的推导,我们对最小二乘法有了深入的了解。

2 基于最小二乘法的曲线拟合理论

在本章中,我们主要介绍了基于最小二乘法的曲线拟合原理。通过数学公式的推导,我们对最小二乘法有了深入的了解。同时,我们介绍了MATLAB软件的基本情况。通过几个曲线拟合的例子,我们对MATLAB软件的工具箱函数有了更深入的了解。

2。1 最小二乘法曲线拟合的原理

在利用曲线拟合的方法时,我们在得到这些变量之间的近似函数表达式之后,我们需要从整体上考虑近似函数同所给数据点之间误差的大小,付艳茹。[14]在《基于MATLAB曲线拟合的应用研究》一文中给出了常用的三种衡量误差的方法]:

(1)误差绝对值得最大值,即误差向量的无穷范数。

(2)误差绝对值的和,即误差向量r的1范数。

(3)误差平方和的算数平方根,即误差向量r的2范数。

前两种方法计算简单,但不便于微分运算。后一种方法相当于考虑2-范数的平方,因此在曲线拟合中常采用误差平方和来度量误差的大小。从几何意义上讲,就是寻求与给定点的距离平方和为最小的曲线,函数称为拟合函数或最小二乘解,求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

2。2直线拟合

2。2。1 直线拟合的思想

当所给的数据点,(i=0,1,。。。,n),的分布大致成一条直线时,我们可以用这条直线来拟合这些数据点,当然这条拟合直线不一定要通过所有的数据点,只要求满足即可。而对于直线方程,我们只需要两个点即可确定该直线方程的未知参数,也就是说数据点的数目往往远超于待定参数的数目,那么拟合直线的构造本质就是解矛盾方程的代数问题。

2。2。2 直线拟合问题的数学描述

对于给定的数据点 ,当所求拟合直线能够使得总误差

则称此时的直线为所求的最小二乘拟合直线。此时,问题转化为求解方程(2。1),求得系数,即可。下面我们求解该方程:

由微积分求极值的方法可知,为使Q达到极值,参数,应满足:,且,即文献综述

通过求解该方程组即可求得参数a,b。继而得到拟合直线方程。

2。3多项式拟合

在用最小二乘法拟合曲线时,如果拟合函数为多项式,我们称其为多项式拟合。现求一函数,使得:

如果满足(2。2)式,则称为最小二乘拟合多项式。显然为的多元函数,因此上述问题转换为求I的极值问题,由多元函数求极值的必要条件得: 

           

而(2。3)是关于的线性方程组,用矩阵表示为  式(2。3)或式(2。4)称为正规方程组或者法方程组。而我们可以证明方程组的系数矩阵是一个对称正定矩阵,故存在唯一解,从式(2。4)我们可以解出,从而可得多项式

同时也可以证明(2。5)中的 满足(1),即多项式就是所有的最小二乘多项式。 

2.4多元线性拟合

多元线性拟合在统计学上也称为多元线性回归[15],它的自变量受到多个因变量的影响,我们设给定的数据点为:

且这些数据点大致在一条直线上,令其回归函数为,那么多元函数的最小二乘法即转化为求系数,,…,。使得方差Q达到最小值,其中:

。由多元函数取极值的必要条件知

在(2。6)中取K=0得,由(2。6)式得:

上式(2。10)便是求解多元线性回归最小二乘解的正则方程组,我们同样可以证明方程组有唯一解且使得

取到最小值。

2。5非线性拟合 MATLAB基于最小二乘法的曲线拟合研究(4):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_89403.html

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